Câu 39: Cho hàm số bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f(2$\sqrt{x-2}$+ $\sqrt{6-x}$)=2m có nghiệm? A. 4. B. 1. C. 3. D. 6.

Ta có: Đồ thị của `f(x)` cắt trục tung tại điểm có tung độ là `2`

`=>` `c=2`

Ta có: Hoành độ đỉnh của đồ thị của `f(x)` là `2`

`=>` `-b/(2a)=2` `<=>` `b=-4a`

Mà hàm số đi qua điểm `(2;-2)`

`=>` `4a+2b+2=-2`

`<=>` `4a+2*(-4a)+2=-2`

`=>` `a=1`

`=>` `b=-4`

`=>` `f(x)=x^2-4x+2`

Xét biểu thức `A=2sqrt(x-2)+sqrt(6-x)` `(2 <= x <= 6)`

`=>` `A^2=3x-2+4sqrt((x-2)(6-x))`

Ta có: `{(3x-2 >= 4 \ forall \ 2 <= x <= 6),(4sqrt((x-2)(6-x)) >= 0 \ forall \ 2 <= x <= 6):}`

`=>` `A^2 >= 4`

`=>` `A>=2` (Do `A > 0`)

Dấu bằng xảy ra `<=>` `{(3x-2=4),((x-2)(6-x)=0):}` `<=>` `x=2` (TM)

Ta có: `A^2=3x-2+4sqrt((x-2)(6-x))`

$=3x-2+2\sqrt{(x-2)(24-4x)} \mathop{\leq}\limits_{\text{Cauchy}} 3x-2+x-2+24-4x=20$

`=>` `A <= 2sqrt5` (Do `A > 0`)

Dấu bằng xảy ra `<=>` `x-2=24-4x` `<=>` `x=26/5` (TM)

Từ đó, ta suy ra: `f(2) <= f(2sqrt(x-2)+sqrt(6-x)) <= f(2sqrt5)`

`<=>` `-2 <= f(2sqrt(x-2)+sqrt(6-x)) <= 22-8sqrt5`

Phương trình ở đề bài có nghiệm

`<=>` `-2 <= 2m <= 22-8sqrt5`

`<=>` `-1 <= m <= 11-4sqrt5`

`=>` `m in {-1;0;1;2}`

`=>` Chọn `A`