Tính các cạnh và các góc của ΔABC biết `m_b = 6 , m_c = 9` và trọng tâm `G` nhìn cạnh `BC` theo góc 120 độ

$\\$ Vì `G` là trọng tâm `triangleABC`

$\\$ `=>BG=2/3m_b=2/3 .6=4`

$\\$      `CG=2/3m_c=2/3 .9=6`

$\\$ Vì trọng tâm `G` nhìn `BC` theo góc `120^@`

$\\$ `=>hat{BGC}=120^@`

$\\$ Áp dụng định lí cosin trong `triangleBGC` ta có:

$\\$ `BC^2=BG^2+CG^2-2.BG.CG.cos hat{BGC}`
$\\$ `<=>BC=sqrt{4^2+6^2-2.4.6.cos120^@}=2sqrt19`

$\\$ Ta có: `m_b^2=(AB^2+BC^2)/2-(AC^2)/4=6^236`

$\\$ `=>2(AB^2+76)-AC^2=144`

$\\$ `<=>2AB^2-AC^2=-8` `(1)`

$\\$ Ta có: `m_c^2=(AC^2+BC^2)/2-(AB^2)/4=9^2=81`

$\\$ `=>2(AC^2+76)-AB^2=324`

$\\$ `=>2AC^2-AB^2=172` `(2)`

$\\$ Từ `(1)` và `(2)=>{(AB^2=52),(AC^2=112):}<=>{(AB=2sqrt13),(AC=4sqrt7):}`

$\\$ Áp dụng định lí cosin trong `triangleABC` ta có:

$\\$ `cosA=(AB^2+AC^2-BC^2)/(2.AB.AC)`

$\\$ `=>hatA~~54,8^@`

$\\$ `cosB=(AB^2+BC^2-AC^2)/(2.AB.BC)`

$\\$ `=>hatB~~82,7^@`

$\\$ Ta có: `hatA+hatB+hatC=180^@`

$\\$ `=>hatC=180^@-54,8^@-82,7^@=42,5^@`