Cho `a,b `thực dương tm `4a^2+b^2=2. ` Tìm giá trị nhỏ nhất của `(4a)/(2+b)+b/(1+a)+2024/(2a+b)`

Áp dụng bđt Bunhiacopxki

`(4a^2+b^2)(1+1)ge(2a+b)^2`

`<=>2ge2a+b`

Áp dụng bđt Cauchy

`4a^2+b^2ge4ab`

`=>1ge2ab`

Áp dụng bđt Cauchy-schwarz

`(4a)/(2+b)+b/(1+a)ge(2a+b)^2/(2a+b+2ab)ge(2a+b)^2/3`

`=>(4a)/(2+b)+b/(1+a)+2024/(2a+b)ge(2a+b)^2/3+2024/(2a+b)`

Đặt `2a+b=t(tle2)`

`t^2/3+2024/t`

`=(t^2)/3+8/(3t)+8/(3t)+6056/(3t)`

`ge3root[3]{(8^2)/(3^3)}+6056/6`

`=8+6056/6`

`=3052/3`

Dấu `=` xảy ra khi `a=1/2` , `b=1`