Viết PT đường tròn (C) trong trường hợp sau: (C) đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox và Oy

Gọi tâm của đường tròn `(C)` là `I(a;b)` với bán kình bằng `R`

Khi `(C)` tiếp xúc với `Ox` thì : `R = d(I;Ox) = |b|`

Khi `(C)` tiếp xúc với `Oy` thì : `R = d(I;Oy) = |a|`

Do `d(I;Ox) = d(I;Oy) = R => |a| = |b| =>` $\left[\begin{matrix} a=b\\ a=-b\end{matrix}\right.$

Trường hợp `1` : `a = b` `=>` `I(a;a)` và `R = |a|`

Do `M \in (C)` nên `IM = R`

`=> IM^2 = R^2`

`=> (2 - a)^2 + (-1-a)^2 = (|a|)^2

`<=> a^2 - 4a + 4 + a^2 + 2a + 1 = a^2`

`<=> a^2 -2a + 5 = 0(\text{vô nghiệm})`

`=>` Không có phương trình đường tròn khi `a=b`

Trường hợp `2` : `a =-b` thì `I(a;-a)` và `R = |a|`

Tương tự, do `M \in (C)` nên 

`IM = R`

`=> IM^2 = R^2`

`=> (2-a)^2 + (-1 + a)^2 = (|a|)^2`

`<=> 4 - 4a + a^2 + a^2 - 2a + 1 = a^2`

`<=> a^2 -6a + 5 = 0`

`\iff` $\left[\begin{matrix} a=1\\ a=5\end{matrix}\right.$

Với `a=1` ta suy ra `I(1;-1)` và `R = |1| =1`

Ta được phương trình đường tròn : `(x-1)^2 + (y + 1)^2 = 1`

Với `a=5` ta suy ra `I(5;-5)` và `R = |5| =5`

Ta được phương trình đường tròn : `(x-5)^2 + (y + 5)^2 = 25`

Vậy có `2` phương trình đường tròn thỏa mãn là 

`(x-1)^2 + (y + 1)^2 = 1` và `(x-5)^2 + (y + 5)^2 = 25`