Bài V (0,5 điểm) Cho các số thực x, y, z $\geq$ 0 thỏa mãn x+y+z = 19 và $\sqrt{x}$+ $\sqrt{y}$+ $\sqrt{z}$ = 5. Tìm giá trị lớn nhất của x.

Giả sử `x` là số lớn nhất trong ba số `x, y, z`

Từ `\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} = 5`

`\Rightarrow \sqrt{y} + \sqrt{z} = 5 - \sqrt{x}`

`y + z + 2\sqrt{yz} = (5 - \sqrt{x})^2`

`\Leftrightarrow y + z + 2\sqrt{yz} = 25 - 10\sqrt{x} + x`

`\Leftrightarrow y + z - x = 25 - 10\sqrt{x} - 2\sqrt{yz}`

Mà `x + y + z = 19`

`\Rightarrow y + z = 19 - x`

Ta có: `19 - x - x = 25 - 10\sqrt{x} - 2\sqrt{yz}`

`\Leftrightarrow 10\sqrt{x} - 2x - 6 = -2\sqrt{yz}`

Vì `y, z \ge 0` nên `-2\sqrt{yz} \le 0`

`\Rightarrow 10\sqrt{x} - 2x - 6 \le 0`

`\Leftrightarrow 2x - 10\sqrt{x} + 6 \ge 0`

`\Leftrightarrow x - 5\sqrt{x} + 3 \ge 0`

Đặt `t = \sqrt{x} (t \ge 0)` Ta có:

`t^2 - 5t + 3 \ge 0`

`t \le \frac{5 - \sqrt{13}}{2}` hoặc `t \ge \frac{5 + \sqrt{13}}{2}`

Do `x` là số lớn nhất nên `x \ge \frac{19}{3}`

`\Rightarrow \sqrt{x} \ge \sqrt{\frac{19}{3}}`

Kết hợp với điều kiện `t \ge \frac{5 + \sqrt{13}}{2}`

Ta có: `\sqrt{x} \ge \frac{5 + \sqrt{13}}{2}`

`\Leftrightarrow x \ge \frac{25 + 13 + 10\sqrt{13}}{4} = \frac{38 + 10\sqrt{13}}{4} = \frac{19 + 5\sqrt{13}}{2}`

Từ `10\sqrt{x} - 2x - 6 \le 0`

Chọn `x = 9` Ta có:

`y + z = 10` và `\sqrt{y} + \sqrt{z} = 2`

`\Rightarrow y = z = 1`

Vậy `x = 9`