Bài IV (3,5 điểm). Cho AABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH. a) Chứng minh AABC , AHBA. b) Cho AB = 3cm, BH = 1,8cm. Tính độ dài BC và AC. Điểm M di chuyển trên cạnh AC. Vẽ AD $\bot$ BM tại D. Chứng minh BD. BM = BH. BC. d) Tìm vị trí điểm M trên cạnh AC để HD // AB.

Giải thích các bước giải:

a) `ΔABC` vuông tại `A` có đường cao `AH => AB⊥AC; AH⊥BC`

`=> \hat{BAC}=90^0; \hat{AHB}=90^0`

Xét `ΔABC` và `ΔHBA` có:

`\hat{BAC}=\hat{AHB}=90^0`

`\hat{ABC}=\hat{ABH}`

`=>` $ΔABC\backsimΔHBA$ (g.g)

b) $ΔABC\backsimΔHBA $

`=> \frac{AB}{BH}=\frac{BC}{AB}`

`=> BC=\frac{AB^2}{BH}=\frac{3^2}{1,8}=5 (cm)`

`ΔABC` vuông tại `A => AB^2+AC^2=BC^2` (định lý pytago)

`=> AC^2=BC^2-AB^2=5^2-3^2=16`

`=> AC= 4 (cm)`

c) Xét `ΔABD` và `ΔMBA` có:

`\hat{ADB}=\hat{BAM}=90^0`

`\hat{ABD}=\hat{MBA}`

`=>` $ΔABD\backsimΔMBA$ (g.g)

`=> \frac{AB}{BM}=\frac{BD}{AB} => AB^2=BM.BD`

mà `AB^2=BH.BC `

`=> BD.BM=BH.BC`

d) Để $HD//AB$ thì `\hat{ABD}=\hat{BDH}` (2 góc so le trong) hay `\hat{ABM}=\hat{BDH}`

Ta có: `BD.BM=BH.BC => \frac{BD}{BC}=\frac{BH}{BM}`

Xét `ΔBDH` và `ΔBCM` có:

`\hat{DBH}=\hat{CBM}`

`\frac{BD}{BC}=\frac{BH}{BM}`

`=>` $ΔBDH\backsimΔBCM$ (c.g.c)

`=> \hat{BDH}=\hat{BCM}` hay `\hat{BDH}=\hat{BCA}`

mà `\hat{ABM}=\hat{BDH}`

`=> \hat{ABM}=\hat{BCA}`

Vậy vị trí của điểm `M` trên cạnh `AC` sao cho `\hat{ABM}=\hat{BCA}` thì $HD//AB$