Bài 4 (1 điểm). Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn $\frac{y+z+1}{x}$ = $\frac{x+z+2}{y}$ = $\frac{x+y-3}{z}$ = $\frac{1}{x+y+z}$  Tinh giá trị của biểu thức: $A = 2022.x + y^{2023} + z^{2023}$

Đáp án:

$1011.$

Giải thích các bước giải:

$\dfrac{y+z+1}{x}+\dfrac{x+z+2}{y}+\dfrac{x+y-3}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$\dfrac{y+z+1}{x}+\dfrac{x+z+2}{y}+\dfrac{x+y-3}{z}=\dfrac{y+z+1+x+z+2+x+y-3}{x+y+z}=\dfrac{2x+2y+2z}{x+y+z}=2\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} y+z+1=2x (1)\\x+z+2=2y \\ x+y-3=2z\\x+y+z=\dfrac{1}{2}(2)\end{array} \right.$

Trừ các vế tương ứng của $(1)$ cho $(2)$ ta được:

$1-x=2x-\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow 3x=\dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}$

Tương tự ta tính được $y=\dfrac{5}{6};z=-\dfrac{5}{6}$

Thay vào $A $ ta được:

$A = 2022.\dfrac{1}{2} +\left(\dfrac{5}{6}\right)^{2023} + \left(-\dfrac{5}{6}\right)^{2023}\\ = 1011+\left(\dfrac{5}{6}\right)^{2023} - \left(\dfrac{5}{6}\right)^{2023}\\ =1011.$