Câu 5. (1 điểm) Cho 2022 số tự nhiên $a_1; a_2;a_3;..;a_2022$ đều là các số lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{a^2_1}$ + $\frac{1}{a^2_2}$ + $\frac{1}{a^2_3}$ + .... $\frac{1}{a^2_{2022}}$ = 1 Chứng minh rằng trong 2022 số này, ít nhất sẽ có 2 số bằng nhau.

Giả sử trong `2022` số tự nhiên `a_1 ;a_2 ;a_3 ;...;a_2022` không tồn tại `2` số tự nhiên bằng nhau

Do `a_1 ;a_2 ;a_3 ;...;a_2022` có vai trò như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử `1<a_1 <a_2 <a_3 <...<a_2022`

Khi đó : $\begin{cases}a_1 \geq 2\\a_2 \geq 3\\a_3 \geq 4 \\...\\a_{2022} \geq 2023\end{cases}$

`=>` $\begin{cases}a_1^2 \geq 2^2 \\a_2^2 \geq 3^2 \\a_3^2 \geq 4^2 \\...\\a_{2022}^2 \geq 2023^2 \end{cases}$

`=>` $\begin{cases}\dfrac{1}{a_1^2}\leq \dfrac{1}{2^2}\\ \dfrac{1}{a_2^2}\leq \dfrac{1}{3^2}\\ \dfrac{1}{a_3^2}\leq \dfrac{1}{4^2}\\...\\\dfrac{1}{a_{2022}^2 }\leq \dfrac{1}{2023^2}\end{cases}$

`=>1/(a_1^2)+1/(a_2^2)+1/(a_3^2)+...+1/(a_2022^2)<=1/(2^2)+1/(3^2)+1/(4^2)+...+1/(2023^2)`

`<1/(1.2)+1/(2.3)+1/(3.4)+...+1/(2022.2023)`

`=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/2022-1/2023=1-1/2023<1` 

Mà `1/(a_1^2)+1/(a_2^2)+1/(a_3^2)+...+1/(a_2022^2) =1=>` Vô lý

Vậy trong `2022` số trên, sẽ tồn tại ít nhất `2` số bằng nhau