Câu 3. (3 điểm) 1. a) Cho $A=1+3+3^2 +3^3 +...+3^2022$ , Tìm số tự nhiên n để $2A+1= 3^{n+1} - 3^n. 2$ b) Tìm số nguyên n để A = $\frac{2n-1}{n-2}$ là số nguyên. 2. Học kì 1, số học sinh giỏi của lớp 6A bằng $\frac{2}{7}$ số học sinh còn lại. Sang học kì II, số học sinh giỏi tăng thêm 5 bạn ( số học sinh cả lớp không đổi ) nên số học sinh giỏi bằng $\frac{1}{3}$ số học sinh cả lớp. Tính số học sinh lớp 6A.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$1)\\ a)A=1+3+3^2 +3^3 +\dots+3^{2022}\\ 3A=3(1+3+3^2 +3^3 +\dots+3^{2022})\\ =3+3^2 +3^3 +3^3+\dots+3^{2023}\\ 3A-A=(3+3^2 +3^3 +3^3+\dots+3^{2023})-(1+3+3^2 +3^3 +\dots+3^{2022})\\ \Rightarrow 2A=3^{2023}-1$

Ta có:

$2A+1= 3^{n+1} - 3^n. 2\\ \Rightarrow 3^{2023}-1+1= 3^{n+1} - 3^n. 2\\ \Rightarrow 3^{2023}= 3^{n+1} - 3^n. 2\\ \Rightarrow 3^{2023}= 3.3^n- 3^n. 2\\ \Rightarrow 3^{2023}= 3^n\\ \Rightarrow n=2023$

Vậy $n=2023$

$b) A=\dfrac{2n-1}{n-2} (n \ne 2)\\ =\dfrac{2n-4+3}{n-2}\\ =\dfrac{2(n-2)+3}{n-2}\\ =2+\dfrac{3}{n-2}$

Do $n$ nguyên, $A$ nguyên khi $(n-2) \in Ư (3)$

$Ư (3)=\{-3;-1;1;3\}\\ \Rightarrow (n-2) \in \{-3;-1;1;3\}\\ \Rightarrow n \in \{-1;1;3;5\}$

Vậy $n \in \{-1;1;3;5\}$

$2)$

Học kì I, so với cả lớp, số học sinh giỏi bằng:

$\dfrac{2}{7+2}=\dfrac{2}{9}$ (số học sinh cả lớp)

$5$ học sinh giỏi tăng thêm trong kì II ứng với số phần cả lớp là:

$\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{9}$ (số học sinh cả lớp)

Số học sinh cả lớp là:

$5:\dfrac{1}{9}=45$ (học sinh)

Vậy lớp $6A$ có $45$ học sinh.