Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH, Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AH và HB. Chứng minh: a) MN vuông góc với AC b) CM vuông góc với AN. c) Qua N vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB tại I. Gọi AN cắt BM tại E Chứng minh H; E; I thẳng hàng.

a)

Ta có :

$\begin{cases} \text{M trung điểm AH}\\\text{N trung điểm HB}\end{cases}$

`=> MN` là đường trung bình `\Delta HAB`

`=> MN` $\parallel$ `AB`

Lại có `AB \bot AC` nên `MN \bot AC`

b)

Gọi `MN \cap AC = D` 

`=> DN \bot AC`

Ta có :

`DN \bot AC ; AH \bot CN`

`=> M` là trực tâm `\Delta ANC`

`=> CM \bot AN`

c)

Ta có :

$\begin{cases} AN \cap BM = E \\ \text{AN;BM là các đường trung tuyến} \end{cases}$

`⇒ F` là trọng tâm `ΔABN` (1)

Lại có $\begin{cases} IN  \parallel AH \\ HN = BN\end{cases}$

`⇒ AI = IB`

`⇒ HI` là đường trung tuyến `ΔABN` (2)

(1),(2) `⇒ HI` đi qua `E` hay `H,E,I` thẳng hàng .