14. Một cây cầu có dạng cung OA của vị đồ thị hàm số y= 4,8. sin – và được mô tả trong hệ trục toạ độ với đơn vị trục là mét như ở Hình 39, a) Giả sử chiều rộng của con sông là độ dài đoạn thẳng OA. Tìm chiều rộng đó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). b) Một sà lan chở khối hàng hoá được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao 3,6 m so với mực nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn c) Một sà lan khác cũng chở khối hàng hoá được xếp thành hình hộp chữ nhật với chiều rộng của khối hàng hoá đó là 9 m sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều cao của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 4,3 m.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$4)\\ a)y=4,8\sin \dfrac{x}{9}\\ y=0 \Rightarrow \sin \dfrac{x}{9}=0\\ \Rightarrow \dfrac{x}{9}=k\pi(k \in \mathbb{Z})\\ \Rightarrow x=9k\pi(k \in \mathbb{Z})$

Với $k=0 \Rightarrow x=0$ ta có điểm $O(0;0)$

Do $O$ và $A$ là hai vị trí liên tiếp có tung độ là $0$ nên hoành độ của $A$ sẽ ứng với $k=1$

Với $k=1 \Rightarrow x=9\pi$ ta có điểm $A(9\pi;0)$

$OA=9\pi \approx 28,3 (m)$

$b)$ Khi khối hàng chạm vào gầm cầu tại một trong hai điểm $B$ hoặc $C$, độ cao điểm va chạm bằng chiều cao khối hàng là $y=3,6 m$

Thay $y=3,6$ vào phương trình hàm số ta có:

$4,8\sin \dfrac{x}{9}=3,6\\ \Rightarrow \sin \dfrac{x}{9}=\dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \dfrac{x}{9}=\arcsin\dfrac{3}{4}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})\\ \dfrac{x}{9}=\pi-\arcsin\dfrac{3}{4}+l2\pi (l \in \mathbb{Z})\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x=9\arcsin\dfrac{3}{4}+k18\pi (k \in \mathbb{Z})\\ x=9\pi-9\arcsin\dfrac{3}{4}+l18\pi (l \in \mathbb{Z})\end{array} \right.$

Với $x \in (0;9\pi) $

$\Rightarrow x\approx 7,63 (k=0), x \approx 20,64(l=0)$

Khoảng cách giữa hai điểm $B$ và $C$ hay chiều rộng tối đa của khối hàng khi đi qua gầm cầu:

$20,64-7,63=13,01(m) <13,1(m)$

$\Rightarrow$ Chiều rộng của khối hàng hoá muốn đi qua phải nhỏ hơn $13,1m$

$c)$ Khối hàng ở độ cao tối đa mà nó có thể qua được khi hai mép khối hàng đều chạm vào thành cầu, tức là khi $BC$ bằng chiều rộng khối hàng và bằng $9m$

Do tính chất hàm $\sin,DECB$ là hình chữ nhật, $OD=EA$

Ta có $OD+DE+EA=OA$

$\Rightarrow OD=\dfrac{OA-DE}{2}=\dfrac{OA-BC}{2}=\dfrac{OA-BC}{2}=9,65(m)$

Thay$ x=9,65$ vào phương trình hàm ta có chiều cao tối đa khối hàng:

$y=4,8\sin \dfrac{9,65}{9} \approx 4,22(m)<4,3(m)$

$\Rightarrow$  Chiều cao của khối hàng hoá muốn đi qua phải nhỏ hơn $ 4,3m.$