$\rm \sqrt{3x-8}-\sqrt{x+1}=\dfrac{2x-11}{5}$

Điều kiện $x^{}$ ≥$\frac{8}{3}$ 

Phương trình được viết lại như sau: $5^{}$ $\sqrt[]{3x-8}$ $-5^{}$ $\sqrt[]{x+1}$ $=2x-11^{}$ 

Ta nhẩm được 2 nghiệm $x=3, x=8^{}$ nên suy ra nhân tử chung là: 

$x^{2}$ $-11x+24^{}$

Ta phân tích với nhân tử $5^{}$ $\sqrt[]{3x-8}$ như sau:

+ Tạo ra $5^{}$ $\sqrt[]{3x-8}$ $-(ax+b) =0^{}$ sao cho phương trình này nhận $x=3,x=8^{}$ là nghiệm. Tức là $a,b^{}$ cần thỏa mãn hệ: $\left \{ {{3a+b=5} \atop {8a+b=20}} \right.$ ⇔$\left \{ {{a=3} \atop {b=-4}} \right.$ 

+ Tương tự với $5^{}$ $\sqrt[]{x+1}$ $-(mx+n)=0^{}$ ta thu được: $\left \{ {{3m+n=10} \atop {8m+n=15}} \right.$ ⇔$\left \{ {{m=1} \atop {n=7}} \right.$ 

Phương trình đã cho trở thành:

$5^{}$ $\sqrt[]{3x-8}$ $-(3x-4)+(x+7)-5^{}$ $\sqrt[]{x+1}=0$ ⇔$\frac{-9(x^{2}-11x+24) }{5\sqrt[]{3x-8} +(3x-4)^{} }$ $+^{}$ $\frac{x^{2}-11x+24 }{(x+7)+5\sqrt[]{x+1} }$ $=0^{}$ 

⇔$(^{}$ $x^{2}-11x+24)$ $[^{}$ $\frac{-9}{5\sqrt[]{3x-8} +(3x-4)}$ $+^{}$ $\frac{1}{(x+7)+5\sqrt[]{x+1}}$ $]=0^{}$ 

⇔\(\left[ \begin{array}{l}x^{2} -11x+24=0 \\\frac{-9}{5 \sqrt[]{3x-8}+(3x-4) }+\frac{1}{(x+7)+\sqrt[]{x+1} }=0\end{array} \right.\) $^{}$ 

Ta xét $A(x)= ^{}$ $\frac{-9}{5\sqrt[]{3x-8}+(3x-4) }$ $+^{}$ $\frac{1}{(x+7)+5\sqrt[]{x+1} }$ $^{}$ 

Ta chứng minh: $A(x)<0^{}$ tức là: $ ^{}$ $\frac{-9}{5\sqrt[]{3x-8}+(3x-4) }$ $+^{}$ $\frac{1}{(x+7)+5\sqrt[]{x+1} }$ $^{}$ $<0^{}$ 

⇔ $5^{}$ $\sqrt[]{3x-8}+3x-4-9(x+7+5 $ $\sqrt[]{x+1})<0$ 

⇔ $3x-8-5^{}$ $\sqrt[]{3x-8}+$ $\frac{25}{4}+$ $\frac{275}{4}+x+45$ $\sqrt[]{x+1}>0$ ⇔$(^{}$ $\sqrt[]{3x-8}-$ $\frac{5}{2})$ $^{2}+$ $\frac{275}{4}+x+45$ $\sqrt[]{x+1}>0$ 

Điều này là hiển nhiên đúng. 

Vậy phương trình có 2 nghiệm là: $x=3,x=8^{}$ .

CHÚ Ý:

Những đánh giá để kết luận $A(x)<0^{}$ thường là những bất đẳng thức không chặt nên ta luôn đưa về được tổng các biểu thức bình phương. 

Ngoài ra nếu tinh ý ta có thể thấy: $5^{}$ $\sqrt[]{3x-8}+3x-4-9(x+7+5$ $\sqrt[]{x+1})>0$ 

$5^{}$ $\sqrt[]{3x-8}+3x-4$ ≤$9x+63+5^{}$ $\sqrt[]{81x+81}$. Nhưng điều này là hiển nhiên đúng do: 

$5^{}$ $\sqrt[]{3x-8}<5$ $\sqrt[]{81x+81}; 3x-4<9x+63$ với mọi $x^{}$ ≥$\frac{8}{3}$ 

-----------------

$Alfred^{}$