Cho hai số nguyên x y thỏa mãn `x^2 +y^2 +1 = 2(xy +x+y)`. Chứng minh rằng x và y là 2 số chính phương liên tiếp

`x^2 +y^2 +1=2(xy+x+y)`

Do `x^2 +y^2 +1=2(xy+x+y)\vdots 2=>x^2 +y^2 +1\vdots 2=>x;y` khác tính chẵn lẻ

Có : `x^2 +y^2 +1=2(xy+x+y)`

`<=>x^2 +y^2 +1-2xy-2x+2y=4y<=>(x-y-1)^2 =4y`

`<=>y=((x-y-1)^2)/4=((x-y-1)/2)^2` là số chính phương ( Do `x;y` khác tính chẵn lẻ nên `x-y-1\vdots 2` )

Chứng minh tương tự, ta được : `x=((x-y+1)/2)^2` là số chính phương ( Do `x;y` khác tính chẵn lẻ nên `x-y+1\vdots 2` )

Xét `(x-y+1)/2 -(x-y-1)/2=(x-y+1-x+y+1)/2=2/2=1=>(x-y+1)/2` và `(x-y-1)/2` là `2` số tự nhiên liên tiếp

`=>((x-y+1)/2)^2 ` và `((x-y-1)/2)^2` là `2` số chính phương liên tiếp

`=>x` và `y` là `2` số chính phương liên tiếp ( dpcm )