Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c $\leq$ 3. Tìm GTNN của biểu thức: P= $\frac{1}{a^2+b^2+c^2}$ +$\frac{2024}{ab+bc+ca}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

`P = 1/(a^2 +b^2+c^2) + (a^2+b^2+c^2)/9 + 2024/(ab+bc+ca) +  (2024(ab+bc+ca))/9 - (a^2+b^2+c^2)/9 -(2024(ab+bc+ca))/9`
`=> P =1/(a^2 +b^2+c^2) + (a^2+b^2+c^2)/9 + 2024/(ab+bc+ca) +  (2024(ab+bc+ca))/9 - (a+b+c)^2/9  -674/3(ab+bc+ca)` 
 BĐT phụ : `ab+bc+ca <= (a+b+c)^2/3 <=> -(ab+bc+ca) >= -(a+b+c)^2/3 = -3^2/3 =-3` 
Chứng minh : BĐT trên tương đương :     

`3ab+3bc +3ca <= a^2 +b^2 +c^2 +2ab+2bc+2ca`

`<=> a^2 +b^2+c^2 -ab -bc -ca >=0`

`<=> 1/2[ (a^2 -2ab +b^2) + (b^2-2bc+c^2) + (a^2 -2ac +c^2)] >=0`          
`<=> 1/2[(a-b)^2 +(b-c)^2 + (a-c)^2] >=0` ( Luôn đúng `AA a,b,c`)   

Với `a,b,c >0` : Theo BĐT AM-GM :

`P >= 2sqrt( 1/(a^2 +b^2+c^2) . (a^2+b^2+c^2)/9 ) + 2sqrt(2024/(ab+bc+ca) . (2024(ab+bc+ca))/9) - 3^2/9 - 3 .674/3 `   

`=> P>= 2sqrt(1/9) + 2sqrt(2024 . 2024/9) -3^2/9 -3 . 674/3 = 675   `  

Dấu `=` xảy ra khi `a=b=c=1`
Vậy Min `P = 675 <=>a =b=c=1`