Tìm GTNN của biểu thức `M=x/y + y/x + (xy)/(x^2+y^2)` (x,y là các số dương)

`M= x/y + y/x + (xy)/(x^2+y^2)`

`= (x^2)/(xy) + (y^2)/(xy) + (xy)/(x^2+y^2)`

`= (x^2 + y^2)/(xy) + (xy)/(x^2 + y^2)`

`= (4x^2 + 4y^2)/(4xy) + (xy)/(x^2+y^2)`

`= [(x^2 + y^2)/(4xy) + (xy)/(x^2+y^2)] + (3x^2 + 3y^2)/(4xy)`

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho `x, y > 0` ta có:

`(x^2 + y^2)/(4xy) + (xy)/(x^2 + y^2) >= 2\sqrt{(x^2+y^2)/(4xy) . (xy)/(x^2+y^2)} =2 \sqrt{1/4} = 1  (1)`

Lại có:

`x^2 + y^2 >= 2xy`

`<=> 3x^2 + 3y^2 >= 6xy`

`<=> (3x^2 + 3y^2)/(4xy) >= (6xy)/(4xy) = 3/2  (2)`

Cộng vế với vế của `(1)` và `(2)` ta có:

`M >= 1 + 3/2 = 5/2`

Dấu $"="$ xảy ra khi:

$\begin{cases} \dfrac{x^2+y^2}{4xy} = \dfrac{xy}{x^2+y^2}\\x^2 + y^2=2xy \end{cases}$

`<=>` $\begin{cases} (x^2 + y^2)^2=4x^2y^2\\x^2-2xy+y^2=0 \end{cases}$ `

`<=>` $\begin{cases} x^2 + y^2=2xy\\(x-y)^2=0 \end{cases}$

`<=> x - y = 0`

`<=> x=y`

Vậy `M_{min} = 5/2 <=> x = y >0`