Tìm GTLN `A=(5\sqrt{x}-3)/(x+\sqrt{x}+1)`

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ : `x >=0`
Đặt `sqrtx =t ( a>=0) => x =t^2`

`=> A= (5t-3)/(t^2 +t+1)`

`=> A(t^2+t+1) =5t-3`

`=> At^2 +At +A -5t +3=0`

`=> At^2 + t(A-5) +A+3 =0 quad (1)`
Với `A=0 <=> (5t-3)/(t^2 +t+1) =0 <=> 5t -3 =0 <=> 5t =3 <=> t=3/5` (TM) 

`=> sqrtx = 3/5 <=> x = 9/25` (TMĐK)
Với ` A ne 0 => (1)` là phương trình bậc `2` ẩn `t` và luôn phải có nghiệm

`Delta = (A-5)^2 - 4 .A(A+3) =  A^2 - 10A +25- 4A^2 -12A = -3A^2 -22A +25 >=0`

`<=> -3A^2 -25A +3A +25 >=0`

`<=> A(-3A-25) -1(-3A-25) >=0`
`<=> (A-1)(-3A-25) >=0`  
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases} A-1 \ge 0 \\ -3A-25 \ge 0 \end{cases}\\\begin{cases} A-1 \le 0 \\ -3A-25 \le 0 \end{cases}\end{array} \right.\)   
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases} A \ge 1 \\ A\le - \dfrac{25}{3} \end{cases} \quad \text{(loại)}\\\begin{cases} A \le 1 \\ A\ge - \dfrac{25}{3} \end{cases}\end{array} \right.\) 

`<=> -25/3 <= A <=1`
Hay `A` đạt GTLN bằng `1 <=> (5sqrtx -3)/(x +sqrtx +1) =1 `

`<=> 5sqrtx -3 = x+sqrtx +1`

`<=> x - sqrt4x +4=0`

`<=> (sqrtx -2)^2 =0`
`<=> sqrtx -2 =0 <=> sqrtx =2 <=> x =4` (TMĐKXĐ)  

Vậy GTLN của `A =1 <=> x=4`