Cho M là 1 điểm nằm trong ΔABC đều Qua M kẻ các đường thẳng song song với BC,CA,AB lần lượt cắt AB,BC,CA tại các điểm P,Q,R a) chứng minh tứ giác APMR là HÌNH THANG CÂN b) chứng minh rằng chu vi ΔPQR = tổng độ dài MA+MB+MC c) hỏi với vị trí nào của M thì ΔPQR là tam giác đều

Đáp án + Giải thích các bước giải:

a)

Vì `\DeltaABC` đều nên `\hat{ABC}=\hat{ACB}=\hat{BAC}=60^o` và `AB=BC=AC`

Vì `MR////AP(MR////AB;P\inAB)=>APMR` là hình thang

Mà: `MP////BQ(g t)=>\hat{APM}=\hat{ABC}=60^o`

Mà: `\hat{BAC}=60^o` nên `\hat{APM}=\hat{BAC}=60^o`

Do đó: `APMR` là hình thang cân

Vậy `APMR` là hình thang cân

b)

Vì `APMR` là hình thang cân nên `AM=PR(1)`

Chứng minh tương tự câu a), ta có: `PMQB` và `MQCR` là hình thang cân

`=>BM=PQ(2)` và `CM=QR(3)`

Cộng `(1),(2)` và `(3)` vế theo vế có: `AM+BM+CM=PR+PQ+QR`

`=>P_(PQR)=MA+MB+MC`

Vậy `P_(PQR)=MA+MB+MC`

c)

Để `\DeltaPQR` đều thì `PQ=QR=PR`

Mà: `AM=PR;BM=PQ;CM=QR`

`=>AM=BM=CM`

Vì `AM=BM(cmt)` nên `A` đối xứng với `B` qua `M`

Vì `BC=AC(cmt)` nên `A` đối xứng với `B` qua `C`

Do đó: `A` đối xứng với `B` qua `CM`

`=>\hat{BCM}=\hat{ACM}`

`=>CM` là phân giác của `\hat{ACB}`

Chứng minh tương tự, ta có: `AM` là phân giác của `\hat{BAC}`

Xét `\DeltaABC` đều có: `M` là giao điểm của `2` đường phân giác `AM` và `CM`

`=>M` đồng thời là trọng tâm, trực tâm, giao điểm `3` đường phân giác, giao điểm `3` đường cao của `\DeltaABC`

Vậy `M` đồng thời là trọng tâm, trực tâm, giao điểm `3` đường phân giác, giao điểm `3` đường cao của `\DeltaABC` thì `\DeltaPQR` đều