Cho tập hợp `S` gồm `n` số nguyên dương đôi một khác nhau `(n>=3)` thỏa mãn tính chất: tổng của `3` phần tử bất kỳ trong `S` đều là số nguyên tố. Tìm GTLN có thể có của `n`

$\text{Đáp án:}$

 `4`

$\text{Giải thích các bước giải:}$

$\text{→ Giả sử tồn tại 5 số a , b , c , d , e phân biệt thoả mãn n = 5, khi}$

$\text{đó ta lại giả sử A là tập hợp gồm các phép dư của a , b , c , d , e}$

$\text{cho 3 ⇒ A = [ 0 ; 2 ] với A $\in$ N.}$

Trường hợp 1 :

$\text{#A = 3 ⇒ Tổng 3 số có 3 phép dư khác nhau khi chia cho 3 sẽ}$

$\text{chia hết cho 3 ⇒ Trái với giả thuyết}$

Trường hợp 2 :

$\text{#A = 2}$

$\text{→ Áp dụng nguyên lý Dirichlet ⇒ Luôn tồn tại ba số có cùng}$

$\text{số dư khi chia cho 3 ⇒ Tổng 3 số này chia hết cho 3}$

$\text{⇒ Trái với giả thuyết}$

Trường hợp 3 :

$\text{#A = 1 ⇒ Tổng 3 số bất kì luôn chia hết cho 3 ⇒ Trái với giả}$

$\text{thuyết}$

$\text{→ Vậy điều này chứng tỏ không tồn tại bộ số a , b , c , d , e để}$

$\text{thoả mãn n = 5 hay nói cách khác n ≤ 4}$

$\text{→ Ta thấy rằng với n = 4 thì S = { 1 ; 3 ; 7 ; 9 } là nghiệm}$

$\text{⇒ GTLN của n bằng 4}$