Cho một đĩa tròn bán kính 10 cm tiếp xúc tại điểm 12 giờ của một đồng hồ bán kính 20 cm. Đĩa tròn có một hình vẽ mũi tên và ở vị trí tiếp xúc này, mũi tên hướng lên trên như hình vẽ.Đĩa tròn lăn xung quanh đồng hồ theo đúng chiều kim đồng hồ. Hỏi ở thời điểm nào tiếp theo, hình mũi tên trên đĩa tròn lại hướng lên trên? A. 2:00 B. 4:00 C: 6:00 D: 8:00

Đáp án: B 

Giải thích các bước giải:

Chu vi dĩa nhỏ: $C_r=20\pi$ cm

Chu vi dĩa lớn: $C_R=40\pi$ cm 

Tỉ lệ chu vi giữa đồng hồ và dĩa hình tròn là: 

$$\dfrac{\pi\cdot 20}{\pi\cdot 10}=2(giờ)$$

Gọi $\theta_r$ là góc quay của đĩa tròn (so với phương thẳng đứng ban đầu)

        $\theta_c$ là góc quay của đường nối tâm đồng hồ với tâm đĩa tròn (so với phương thẳng đứng ban đầu).

Quãng đường lăn: $R\theta_c=r\cdot$ góc quay tương đối của đĩa

Ta có:

$\theta_r=\theta_c+$ góc quay tương đối

$\to \theta_r=\theta_c+\dfrac{R}r\cdot\theta_c=\theta_c(1+\dfrac{R}r)$

Để mũi tên hướng lên $\to \theta_r=n2\pi, n\in Z$

$\to \theta_c(1+\dfrac{R}r)=n\cdot 2\pi$

$\to \theta_c=\dfrac23\pi n$

Chúng ta tìm thời điểm tiếp theo, nghĩa là tìm $n$ nguyên dương nhỏ nhất sao cho điểm tiếp xúc vẫn là một điểm hợp lý trên đồng hồ.

$\to n=1$

$\to \theta_c=\dfrac23\pi$ hay $\dfrac13$ vòng quanh đồng hồ hay $12:3=4$ giờ