Câu 5 - (1,0 điểm) Cho $x^3+ y^3 + 3(x^2 +y^2) +4(x+y)+4=0$ và xy > 0.Tìm giá trị lớn ở hất của biểu thức : M =$\frac{1}{x}$+ $\frac{1}{y}$

Đáp án:

Giá trị lớn nhất của `M` là `-2` khi `x=y=-1`.

Giải thích các bước giải:

Ta có: 

$\begin{array}{l} {x^3} + {y^3} + 3({x^2} + {y^2}) + 4(x + y) + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + 3{x^2} + 3{y^2} + 4x + 4y + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1} \right) + \left( {{y^3} + 3y{}^2 + 3y + 1} \right) + x + y + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {(x + 1)^3} + {(y + 1)^3} + (x + y + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1 + y + 1} \right)\left[ {{{(x + 1)}^2} - (x + 1)(y + 1) + {{(y + 1)}^2}} \right] + (x + y + 2) = 0\\ \Leftrightarrow (x + y + 2)\left[ {{{(x + 1)}^2} - (x + 1)(y + 1) + {{(y + 1)}^2}} \right] + (x + y + 2) = 0\\ \Leftrightarrow (x + y + 2)\left[ {{{(x + 1)}^2} - (x + 1)(y + 1) + {{(y + 1)}^2} + 1} \right] = 0 \end{array}$ 

Vì ${{{(x + 1)}^2} - (x + 1)(y + 1) + {{(y + 1)}^2} + 1}$

$ = {\left[ {(x + 1) - \dfrac{1}{2}(y + 1)} \right]^2} + \dfrac{3}{4}{(y + 1)^2} + 1 > 0$ (với mọi `x;y`)

`=> x+y+2=0 <=> x+y=-2`

Xét $M = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{{x + y}}{{xy}} = \dfrac{{ - 2}}{{xy}}$

Vì `(x+y)^2≥4xy => 2^2≥4xy => 4≥4xy => \frac{1}{xy}≥1 => \frac{-2}{xy}≤-2`

`=> M≤-2`

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} x + 1 = 0\\ y + 1 = \\ x = y \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = - 1$

Vậy giá trị lớn nhất của `M` là `-2` khi `x=y=-1`.