Câu 5: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm. Từ B kẻ tia Bx song song với AC (tia Bx và điểm C cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB). Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại M và cắt tia Bx tại N. a) Chứng minh tam giác AMC đồng dạng với tam giác NMB. b) Chứng minh $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{MA}{MN}$  c) Từ N kẻ NP vuông góc với AC (P $\in$AC), gọi I là giao điểm của NP và BC. Tính diện tích tam giác IPC.

Giải thích các bước giải:

a) $AP//BN$ `=> \hat{MNB}=\hat{MAC}` (so le trong)

Xét `ΔAMC` và `ΔNMB` có:

`\hat{MAC}=\hat{MNB}`

`\hat{AMC}=\hat{NMB}` (đối đỉnh)

`=>` $ΔAMC\backsimΔNMB$ (g.g)

b) $ΔAMC\backsimΔNMB$ `=> \frac{MA}{MN}=\frac{MC}{MB}`

Xét `ΔABC` có: `AM` là đường phân giác

`=> \frac{AC}{AB}=\frac{MC}{MB}` (tính chất đường phân giác)

`=> \frac{AC}{AB}=\frac{MA}{MN}`

c) `ΔABC` vuông tại `A => AB⊥AC`

mà $BN//AC$ `=> AB⊥BN => \hat{ABN}=90^0`

`NP⊥AC => \hat{NPA}=90^0`

Xét tứ giác `ABNP` có:

`\hat{BAP}=\hat{ABN}=\hat{NPA}=90^0 `

`=> ABNP` là hình chữ nhật

lại có `AN` là phân đường phân giác của `\hat{BAP}`

`=> ABNP` là hình vuông

`=> AB=BN=AP=6cm`

`=> PC=AC-AP=8-6=2` (cm)

`IP⊥AC; AB⊥AC =>` $IP//AB$

`=> \frac{IP}{AB}=\frac{CP}{AC}` (hệ quả ta-lét)

`=> \frac{IP}{6}=\frac{2}{8} => IP=1,5 (cm)`

`ΔIPC` vuông tại `P`

`=> S_{IPC}=1/2 IP.PC = 1/2 . 1,5 . 2 = 1,5 (cm^2)`