Bài 6. (2,5đ) Cho $\triangle$ABC vuông tại A, có đường cao AH. a) Chứng minh: $\triangle$HBA đồng dạng $\triangle$ABC và suy ra $AB^2 = BH.BC$ b) Chứng minh: $AH^2 = HB.HC$ c) Từ H kẻ HM $\bot$AB ( M$\in$AB ) và HN $\bot$AC(N$\in$AC ). Chứng minh: $\triangle$AMN $\backsim$ $\triangle$ACB

Giải thích các bước giải:

 a) `ΔABC` vuông tại `A` có đường cao `AH`

`=> AB⊥AC; AH⊥BC`

Xét `ΔHBA` và `ΔABC` có:

`\hat{AHB}=\hat{BAC}=90^0 (AH⊥BC; AB⊥AC)`

`\hat{ABC}`: chung

`=>` $ΔHBA\backsimΔABC$ (g.g)

`=> \frac{AB}{BC}=\frac{BH}{AB}`

`=> AB^2=BH.BC`

b) $ΔHBA\backsimΔABC$ `=> \hat{BAH}=\hat{ACB}` hay `\hat{BAH}=\hat{ACH}`

Xét `ΔABH` và `ΔCAH` có:

`\hat{AHB}=\hat{AHC}=90^0 (AH⊥BC)`

`\hat{BAH}=\hat{ACH}`

`=>` $ΔABH\backsimΔCAH$ (g.g)

`=> \frac{AH}{HC}=\frac{HB}{AH} => AH^2=HB.HC`

c) Xét tứ giác `AMHN` có:

`\hat{MAN}=\hat{HMA}=\hat{HNA}=90^0 (AB⊥AC; HM⊥AB; HN⊥AC)`

`=> AMHN` là hình chữ nhật

`=> \hat{AMN}=\hat{HAM}` hay `\hat{AMN}=\hat{BAH}`

mà `\hat{BAH}=\hat{ACB}` (chứng minh trên)

`=> \hat{AMN}=\hat{ACB}`

Xét `ΔAMN` và `ΔACB` có:

`\hat{AMN}=\hat{ACB}`

`\hat{BAC}`: chung

`=>` $ΔAMN\backsimΔACB$ (g.g)