Bài 5 (0.5 điểm). Cho x,y,z>0 và $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ +$\frac{1}{z}$ =4. Chứng minh rằng: $\frac{1}{2x+y+z}$ + $\frac{1}{x+ 2y+z}$ +$\frac{1}{x+y+2z}$ $\leq$ 1

Đáp án+Giải thích các bước giải:

Áp dụng BĐT Cô - si ta có:

$a+b \ge 2\sqrt{ab};\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge 2\sqrt{\dfrac{1}{ab}} (a,b >0)$

Các vế đều dương, nhân tương ứng ta có 

$(a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \right) \ge 2\sqrt{ab}.2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}=4\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a+b}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{a+b} \le \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right) $

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$

Áp dụng ta có:

$\dfrac{1}{2x+y+z}=\dfrac{1}{(x+y)+(x+z)} \le \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}\right) \le \dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)  (1)$

Tương tự:

$\dfrac{1}{x+2y+z} \le \dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)  (2)\\ \dfrac{1}{x+y+2z} \le \dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)  (3)$

Cộng vế tương ứng $(1)(2)(3)$ ta có:

$\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z} \le \dfrac{4}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z} \le \dfrac{4}{16}.4\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z} \le 1$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x+y=y+z=z+x\\ x=y=z \\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=4\end{array} \right. \Leftrightarrow  x=y=z=\dfrac{3}{4}.$