Bài 4 (3 điểm). Cho đường tròn tâm (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn, kẻ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm). Kẻ đường kính AOC và dây cung AB vuông góc với OM tại H. a) Chứng minh rằng: Tứ giác AOBM nội tiếp đường tròn và hãy xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOBM đó b) Kẻ dây CN của đường tròn (O) đi qua H. Tia MN cắt (O) tại điểm thứ hai là D. Chứng minh: $MD.MN = MA^2$ c) Chứng minh ba điểm B, O, D thẳng hàng.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a) OA=OB=R$

$\Rightarrow \Delta AOB$ cân tại $O$

$\Rightarrow OH$ là đường cao đồng thời là phân giác

$\Rightarrow \widehat{O_1}= \widehat{O_2}$

Xét $\Delta OAM$ và $\Delta OBM:$

$OM:$ chung

$ \widehat{O_1}= \widehat{O_2}\\ OA=OB\\ \Rightarrow \Delta OAM = \Delta OBM (c.g.c)\\ \Rightarrow \widehat{OAM}=\widehat{OBM}\\ \Rightarrow \widehat{OBM}=90^\circ$

$\Delta OAM$ vuông tại $A$ nên có tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm $OM$

$\Delta OBM$ vuông tại $B$ nên có tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm $OM$

$\Rightarrow AOBM$ nội tiếp đường tròn đường kính $OM$, tâm là trung điểm $OM$

$b) \widehat{MAN}=\widehat{MDA}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung - cung $AN)$

Xét $\Delta MAN$ và $\Delta MDA:$

$\widehat{M_1}: $ chung

$\widehat{MAN}=\widehat{MDA}\\ \Rightarrow \Delta MAN \backsim \Delta MDA (g.g)\\ \Rightarrow \dfrac{MN}{MA}=\dfrac{MA}{MD}\\ \Rightarrow MN.MD=MA^2$

$c) \widehat{M_2}=\widehat{A_1} (AOBM$ nội tiếp)

Mà $\widehat{A_1}=\widehat{N_3}$ (chắn cung $BC$ của $(O))$

$\Rightarrow \widehat{M_2}=\widehat{N_3}$

$\Rightarrow BHNM$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{HBM}=\widehat{N_2}$

Lại có $\widehat{N_1}=\widehat{ABD}$ (chắn cung $AD$ của $(O))$

$\Rightarrow \widehat{HBM}+\widehat{ABD}=\widehat{N_2}+\widehat{N_1}$

$\Rightarrow \widehat{MBD}=\widehat{ANC}$

Mà $\widehat{ANC}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \widehat{MBD}=90^\circ$

$\Rightarrow MB \perp DB$

Mà $MB \perp OB$

$\Rightarrow B, O, D$ thẳng hàng.