Bài 3 (2.5 điểm). 1) $\left \{ {{\frac{1}{x+3}+ 2\sqrt{y-2}=5} \atop {\frac{4}{x+3}-\sqrt{y-2} =2}} \right.$  2) Cho Parabol (P): $y = x^2$ và đường thẳng (d): $y=mx m+2$ với m là tham số. a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m. b) Gọi $x_1,x_2$ lần lượt là hoành độ giao điểm của (d) và (P). Tìm giá trị của m để $(1+x)(1+x) = 5$

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$1)\\ \left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{x+3}+ 2\sqrt{y-2}=5\\ \dfrac{4}{x+3}-\sqrt{y-2} =2\end{array} \right. (x \ne -3; y \ge 2)$

Đặt $\dfrac{1}{x+3}=u; \sqrt{y-2}=v$, hệ đã cho trở thành:

$\left\{\begin{array}{l} u+ 2v=5\\ 4u-v =2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} u+ 2(4u-2)=5\\ v =4u-2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 9u-4=5\\ v =4u-2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 9u=9\\ v =4u-2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} u=1\\ v =2\end{array} \right.$

Trở lại cách đặt ta có:

$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{x+3}=1\\ \sqrt{y-2} =2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x+3=1\\ y-2 =4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=-2\\ y=6\end{array} \right.$

Vậy hệ có nghiệm $(x;y)=(-2;6)$

$2)\\ (P): y=x^2\\ (d): y=mx+2$

$a)$ Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d):$

$x^2=mx+2$

$\Leftrightarrow x^2-mx-2=0$

Tích $ac=-2 <0$

$\Rightarrow$ Phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu

$\Rightarrow (d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt với mọi $m$

$b) Vi-et: x_1+x_2=m\\ x_1x_2=-2\\ \circledast (1+x_1)(1+x_2)=5\\ \Leftrightarrow x_1x_2+x_1+x_2+1=5\\ \Leftrightarrow -2+m-4=0\\ \Leftrightarrow m=6$

Vậy $m=6.$