Bài 3 (2,5 điểm) 1) Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) $x^4- 3x^2-4=0$ b) $\left \{ {{\frac{3x}{x-1}-\frac{2}{y+2}=4} \atop {\frac{2x}{x-1}+ \frac{1}{y+2}=5}} \right.$  2) Cho phương trình: $x^2 – 2mx + 2m −1= 0$ với x là ẩn và m là tham số. a) Chứng minh rằng phương trình luôn đã cho luôn có hai nghiệm với mọi giá trị bất kì của tham so m. b) Gọi $x_1; x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm các giá trị của m để: $x_1^2+x_2^2 =10$.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$1)\\ a) x^4- 3x^2-4=0$

Đặt $t=x^2 (t \ge 0)$, phương trình đã cho trở thành:

$t^2-3t-4=0\\ \Delta=(-3)^2+4.4=25 >0$

$\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$t_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=4\\ t_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=-1 (L)\\ t=4 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$

Vậy $x=\pm 2$

$b) \left\{\begin{array}{l} \dfrac{3x}{x-1}-\dfrac{2}{y+2}=4 \\ \dfrac{2x}{x-1}+ \dfrac{1}{y+2}=5\end{array} \right. (x \ne 1; y \ne -2)\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \dfrac{3x-3+3}{x-1}-\dfrac{2}{y+2}=4 \\ \dfrac{2x-2+2}{x-1}+ \dfrac{1}{y+2}=5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 3+\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{y+2}=4 \\ 2+\dfrac{2}{x-1}+ \dfrac{1}{y+2}=5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{y+2}=1 \\ \dfrac{2}{x-1}+ \dfrac{1}{y+2}=3\end{array} \right.$

Đặt $\dfrac{1}{x-1}=u;\dfrac{1}{y+2}=v$, hệ đã cho trở thành:

$\left\{\begin{array}{l} 3u-2v=1 \\ 2u+v=3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 3u-2v=1 \\ 4u+2v=6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 7u=7 \\ 4u+2v=6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} u=1 \\ v=1\end{array} \right.$

Trở lại cách đặt ta có:

$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{x-1}=1\\\dfrac{1}{y+2}=1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x-1=1\\y+2=1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=2\\y=-1\end{array} \right.$

Vậy hệ có nghiệm $(x;y)=(2;-1)$

$2)\\ x^2 – 2mx + 2m −1= 0\\ a) \Delta'=(-m)^2-(2m-1)=m^2-2m+1=(m-1)^2 \ge 0 \ \forall \ m$

$\Rightarrow$ Phương trình luôn đã cho luôn có hai nghiệm với mọi giá trị bất kì của tham số $m$

$b) Vi-et: x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=2m-1\\ \circledast x_1^2+x_2^2 =10\\ \Leftrightarrow x_1^2+2x_1x_2+x_2^2 - 2x_1x_2 =10\\ \Leftrightarrow (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 =10\\ \Leftrightarrow (2m)^2 - 2(2m-1) =10\\ \Leftrightarrow 4 m^2 - 4 m + 2 =10\\ \Leftrightarrow 4 m^2 - 4 m -8 =0\\ \Leftrightarrow m^2 - m -2=0\\ \Leftrightarrow m=2;=-1$

Vậy $m=2;=-1.$