Bài 4 (3,5 điểm). Cho đường tròn (O) và dây BC cố định, không qua tâm. Điểm A thay đổi trên cung lớn BC (A khác B, C), điểm I là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I trên các đường thẳng AB, AC. Chứng minh: a) Bốn điểm A, H, I, K cùng thuộc một đường tròn. b) Tam giác IHK là tam giác cân và $\widehat{HIK}$ = $\widehat{BIC}$ c) Khi A thay đổi trên cung lớn BC thì đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định.

Giải thích các bước giải:

a) `H, K` lần lượt là hình chiếu của vuông góc của `I` trên `AB` và `AC`

`=> IH⊥AB; IK⊥AC`

`=> \hat{AHI}=\hat{AKI}=90^0`

Xét tứ giác `AKIH` có:

`\hat{AHI}+\hat{AKI}=90^0+90^0=180^0`

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau

`=> AKIH` là tứ giác nội tiếp  

b) `I` là điểm chính giữa cung nhỏ `BC => IB=IC`

`A, B, I, C` cùng thuộc đường tròn `(O) `

`=>` tứ giác `ABIC` nội tiếp

`=> \hat{HCI}=\hat{ABI}` hay `\hat{HCI}=\hat{KBI}`

Xét `ΔHCI` và `ΔKBI` có:

`\hat{CHI}=\hat{BKI}=90^0`

`IC=IB`

`\hat{HCI}=\hat{KBI}`

`=> ΔHCI=ΔKBI` (cạnh huyền - góc nhọn)

`=> \hat{HIC}=\hat{BIK}; IH=IK`

`=> ΔIHK` cân tại `I`

`\hat{HIC}=\hat{BIK} => \hat{HIC}+\hat{CIK}=\hat{CIK}+\hat{BIK}`

`=> \hat{HIK}=\hat{BIC} `

c) Gọi `M` là giao điểm của `OI` và `BC`

Vì `I` là điểm chính giữa cung nhỏ `BC` của `(O)`

`=> OI⊥BC` tại `M; M` là điểm cố định

`=> \hat{CMI}=90^0; \hat{BMI}=90^0`

Xét tứ giác `CMIH` có: 

`\hat{CHI}+\hat{CMI}=90^0+90^0=180^0`

mà 2 góc ở vị trí đối nhau

`=>` tứ giác `CMIH` nội tiếp

`=> \hat{CMH}=\hat{CIH}` (cùng nhìn cạnh `HC`)

Xét tứ giác `MKBI` có:

`\hat{IMB}=\hat{IKB}=90^0`

mà 2 góc này ở vị trí cùng nhìn cạnh `BI`

`=> MKBI` là tứ giác nội tiếp

`=> \hat{KMB}=\hat{KIB}` (cùng nhìn cạnh `BK)`

mà `\hat{CIH}=\hat{KIB}; \hat{CMH}=\hat{CIH}`

`=> \hat{KMB}=\hat{CMH}`

mà `\hat{CMH}+\hat{HMB}=180^0` (kề bù)

`=> \hat{KMB}+\hat{HMB}=180^0`

`=> H, M,K` thẳng hàng

`=> HK` luôn đi qua điểm M cố định

Vậy khi `A` thay đổi trên cung lớn `BC` thì đường thẳng `HK` luôn đi qua một điểm cố định