Bải IV (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. 1) Chứng minh: Tứ giác AEHF nội tiếp 2) Kẻ đường kinh AK của đường tròn (O), gọi M là hinh chiếu vuông góc của C trên AK. Chứng minh AB.AC = AD.AK và MD // BK. 3) Giả sử BC là dãy cố định của đường tròn (O) còn A di động trên cung lớn BC. Tim vị trí của điểm 4 để diện tích tam giác AEH lớn nhất

Giải thích các bước giải:

1) `ΔABC` có đường cao `AD, BE, CF`

`=> AD⊥BC; BE⊥AC; CF⊥AB`

Xét tứ giác `AEHF` có: 

`\hat{AFH}=\hat{AEH}=90^0 (CF⊥AB; BE⊥AC)`

`=> \hat{AFH}+\hat{AEH}=180^0`

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau

`=>` tứ giác `AEHF` nội tiếp

2) Xét `(O)` đường kính `AK` có: `\hat{ACK}` là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

`=> \hat{ACK}=90^0`

`\hat{ABC}=\hat{AKC}` (cùng chắn cung `AC`) hay `\hat{ABD}=\hat{AKC}`

Xét `ΔABD` và `ΔAKC` có: 

`\hat{ADB}=\hat{ACK}=90^0 `

`\hat{ABD}=\hat{AKC}`

`=>` $ΔABD\backsimΔAKC$ (g.g)

`=> \frac{AB}{AK}=\frac{AD}{AC} => AB.AC=AD.AK`

Xét tứ giác `ADMC` có:

`\hat{ADC}=\hat{AMC}=90^0 (AD⊥BC; MC⊥AK)`

mà 2 góc ở cùng nhìn cạnh `AC`

`=>` tứ giác `ADMC` nội tiếp 

`=> \hat{CDM}=\hat{CAM}` (cùng nhìn cạnh `CM`) hay `\hat{CDM}=\hat{CAM}`

Xét `(O)` có `\hat{CAK}=\hat{CBK}` (cùng nhìn cạnh `CK`)

`=> \hat{CDM}=\hat{CBK}`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị của `MD` và `BK`

`=>` $MD//BK$

3) Gọi `G` là trung điểm của `BC => G` cố định

`BH⊥AC; CK⊥AC =>` $BH//CK$

`CH⊥AB; KB⊥AB =>` $CH//KB$

`=> BHCK` là hình bình hành

`=> G` là trung điểm của `HK`

mà `O` là trung điểm của `AK` 

`=> GO` là đường trung bình của `ΔAHK`

`=> AH=2GO`

mà `O` và `G` không đổi nên độ dài `AH` không đổi

`ΔAEH` vuông tại `E`

`=> S_{AEH}= \frac{AE.EH}{2}≤\frac{AE^2+EH^2}{4}=\frac{AH^2}{4} `

Dấu "=" xảy ra khi `EA=EH <=> ΔAEH` vuông cân tại `E`

`=> \hat{HAE}=45^0` hay `\hat{DAC}=45^0`

`=> ΔADC` vuông cân tại `D => \hat{ACB}=45^0`

Vậy diện tích `ΔAEH` lớn nhất khi `A` di động trên cung lớn `BC` sao cho `\hat{ACB}=45^0`