Cho tam giác ABC nhọn, AB > AC, các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm BC. Trên tia đối của các tia AM và AC lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho AP = AM, AQ = AC. a) Chứng minh: ΔACM = ΔAQP. b) Chứng minh: AH PQ. c) Chứng minh BQ = 2AM.

a) Ta có: - Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên ta có

$BM = MC.$

- Từ $APMQ$ ta suy ra $AM = AP$

- Vì $AQ$ song song với tia đối của tia $AC$ nên góc $AQC = ACB$

- Tương tự, vì $AP$ song song với tia đối của tia $AM$ nên góc $AMP = ABG$

`->` Kết hợp các giả thiết trên và dựa vào tính chất góc và góc giữa hai đường thẳng song song, ta có thể suy ra:

$\angle AQC = \angle ACB = 180^\circ - \angle ABC$

$\angle AMP = \angle ABG = 180^\circ - \angle BAC$

Vậy ta có: $\angle AQP = \angle ACB$

$\angle AMC = \angle ABC$

Do đó, ta có $\triangle ACM \sim \triangle AQP$ (có cặp góc bằng nhau ở đây).

Và do AM = AP nên $\triangle ACM = \triangle AQP$.

b) Ta có:$\angle PQA = \angle ACB$ và $\angle PHA = \angle BHC = 90^{\circ} - \angle ACB$.

Vậy $\triangle PHA \sim \triangle PQA$ và vì PH là đường cao của $\triangle ABC$ nên $AH = PQ$.

c) Ta có $\angle BQM = \angle BCA$ và $\angle AMB = \angle ABC$.

Vì BM = MC nên $\triangle AMB = \triangle CMB$.

Từ đó suy ra :

$AM = \frac{1}{2}BC = BM$.

Kết hợp với $\angle BQM = \angle BCA$, ta có :

$\triangle BQM \sim \triangle ABC$.

Vậy $\dfrac{BQ}{AB} = \dfrac{BM}{BC} = \dfrac{1}{2}$ hay $BQ=2AM$