BÀI IV. (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB, MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA lấy điểm C. Kẻ MH vuông góc với BC (H thuộc BC). 1) Chứng minh tứ giác BOMH nội tiếp được đường tròn. 2) Gọi E là giao điểm của MB và OH. Chứng minh HỌ là tia phân giác của góc MHB và ME.MH = BE.HC. 3) Gọi giao điểm của đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp tam giác MHC là K. Chứng minh ba điểm C, K, E thẳng hàng.

Giải thích các bước giải:

1) Xét tứ giác `BOMH` có:

`\hat{MHB}=90^0 (MH⊥BC)`

`\hat{MOB}=90^0 (AB⊥MN)`

`=> \hat{MHB}+\hat{MOB}=180^0 `

mà 2 góc ở vị trí đối nhau

`=>` tứ giác `BOMH` nội tiếp

2)  Xét `(O)` có: `OM=OB` (cùng bằng bán kính)

`=> ΔOMB` cân tại `O`

`=> \hat{OMB}=\hat{OBM}`

mà `\hat{OMB}=\hat{OHB}` (tứ giác `BOMH` nội tiếp)

     `\hat{OBM}=\hat{MHO}` (tứ giác `BOMH` nội tiếp)

`=> \hat{OHB}=\hat{MHO}`

`=> OH` là tia phân giác của `\hat{MHB} `

`=> \frac{ME}{BE}=\frac{MH}{HB}` (tính chất đường phân giác)   (1)

`\hat{AMB}` là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn `(O) `

`=> \hat{AMB}=90^0 => BM⊥AM => BM⊥AC => \hat{BMC}=90^0`

`=> ΔBMC` vuông tại `M `

lại có đường cao `MH => MH^2=HB.HC` (hệ thức lượng)

`=> \frac{MH}{HB}=\frac{HC}{MH}`   (2)

Từ (1) (2) `=> \frac{ME}{BE}=\frac{HC}{MH} => ME.MH=BE.HC`

c) `\hat{MHC}=90^0 =>` đường tròn ngoại tiếp `ΔMHC` có đường kính `MC`

`=> \hat{MKC}=90^0` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`MN` là đường kính của `(O) => \hat{MKN}=90^0` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=> \hat{MKC}+\hat{MKN}=90^0+90^0=180^0`

`=> C, K, N` thẳng hàng

Xét `ΔMHC` và `ΔBMC` có: 

`\hat{MHC}=\hat{BMC}=90^0`

`\hat{BCM}`: chung

`=>` $ΔMHC\backsimΔBMC$ (g.g) 

`=> \frac{HC}{MC}=\frac{MC}{BM}`

Xét ΔMBN có: `OM=ON` (cùng bằng bán kính); `BO⊥MN`

`=> ΔMBN cân tại B => BM=BN`

`=> \frac{HC}{MC}=\frac{MC}{BN}`

mà `\frac{ME}{BE}=\frac{HC}{MH} => \frac{ME}{BE}=\frac{MC}{BN}`

mà `\hat{EBN}=\hat{EMC}=90^0`

`=>` $ΔMCE\backsimΔBNE$ (c.g.c)

`=> \hat{MEC}=\hat{BEN} `

mà `\hat{MEC}+\hat{BEC}=180^0` (kề bù)

`=> \hat{BEN}+\hat{BEC}=180^0`

`=> M, E, C` thẳng hàng

lại có `C, K, N` thẳng hàng

`=> M, E, C, K, N` thẳng hàng

`=> 3` điểm  `C, K, E` thẳng hàng