BÀI III. (2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình: $\left \{ {{\frac{4}{\sqrt{x}-3}+\frac{1}{|2y-1|}= 5 } \atop {\frac{1}{\sqrt{x}-3}+\frac{2}{|2y-1|}=3}} \right.$ 2) Cho phương trình $x^2 - (m + 1)x +m-1=0$(1) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm $x_{1}$, $x_{2}$  thỏa mãn $\frac{1}{x_1^2}$ + $\frac{1}{x_2^2}$ =1

Giải thích các bước giải:

1) ĐKXĐ: `x≥0; x\ne9; y\ne 1/2`

 Đặt `\frac{1}{\sqrt{x}-3} = a (a\ne0); \frac{1}{|2y-1|}=b (b>0)`

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4a + b = 5\\ a + 2b = 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4a + b = 5\\ 4a + 8b = 12 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7b = 7\\ a + 2b = 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1(TM)\\ b = 1(TM) \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{{\sqrt x - 3}} = 1\\ \dfrac{1}{{\left| {2y - 1} \right|}} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt x - 3 = 1\\ \left| {2y - 1} \right| = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt x = 4\\ \left[ \begin{array}{l} 2y - 1 = 1\\ 2y - 1 = - 1 \end{array} \right. \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 16\\ \left[ \begin{array}{l} y = 1\\ y = 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array}$

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm `S={(16;1); (16;0)}`

2) `x^2-(m+1)x+m-1=0`   (1)

a) `Δ=(m+1)^2-4(m-1)`

`=m^2+2m+1-4m+4`

`=m^2-2m+1+4`

`=(m-1)^2+4>0` (với mọi `m`)

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi `m`.

b) Theo viét ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = m + 1\\ {x_1}.{x_2} = m - 1 \end{array} \right.$

ĐKXĐ: `x_1 \ne0; x_2\ne0 => x_1 x_2 \ne0 => m-1\ne0 => m\ne1`

Theo đề bài: 

$\begin{array}{l} \dfrac{1}{{{x_1}^2}} + \dfrac{1}{{{x_2}^2}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x_2}^2 + {x_1}^2}}{{{x_1}^2{x_2}^2}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{(m + 1)}^2} - 2(m - 1)}}{{{{(m - 1)}^2}}} = 1\\ \Rightarrow {m^2} + 2m + 1 - 2m + 2 = {m^2} - 2m + 1\\ \Leftrightarrow 2m = - 2\\ \Leftrightarrow m = - 1(TM) \end{array}$

Vậy `m=-1`