Hãy luôn nhớ cảm ơn và vote 5*
nếu câu trả lời hữu ích nhé!
6931
4159
Đây là câu trả lời đã được xác thực
Câu trả lời được xác thực chứa thông tin chính xác và đáng tin cậy, được xác nhận hoặc trả lời bởi các chuyên gia, giáo viên hàng đầu của chúng tôi.
Giải thích các bước giải:
Ta có: `(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0` (với mọi `a;b;c)`
`=> a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2≥0`
`=> 2(a^2+b^2+c^2)≥2(ab+bc+ca)`
`=> a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca` (1)
Vì `a,b,c` là độ dài ba cạnh của một tam giác
`=> a<b+c => a^2<a(b+c) => a^2<ab+ac`
`b<a+c => b^2<b(a+c) => b^2<ab+bc`
`c<a+b => c^2<c(a+b) => c^2<ac+bc`
`=> a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)` (2)
Từ (1) (2) `=> ab+bc+ca≤a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)`
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
3200
2695
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có`:` `2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca)`
`= 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca`
`= (a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ca + c^2) + (b^2 - 2bc + c^2)`
`= (a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2 >= 0` luôn đúng với mọi `a ; b ; c`
`=> 2(a^2 + b^2 + c^2) >= 2(ab + bc + ca)`
`<=> a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ca` `(1)`
Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có`:`
$\begin{cases} a < b + c\\b < c + a\\c < a + b \end{cases}$
`=>` $\begin{cases} a^2 < a(b + c)\\b^2 < b(c + a)\\c^2 < c(a + b) \end{cases}$
`=> a^2 + b^2 + c^2 < a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) = 2(ab + bc + ca)` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)` `=> ab + bc + ca <= a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc + ca)` `(đpcm)`
Dấu "`=`" xảy ra khi $\begin{cases} a - b = 0\\b-c=0\\c-a=0 \end{cases}$
`<=> a = b = c`
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
Bảng tin