Câu 4 (3,5 điểm) Cho tam giác vuông ABC tại A, đường cao AH; biết CH 4cm và BH 5cm. 1/ Chứng minh: $\triangle$HAC đồng dạng với $\triangle$ABC, từ đó suy ra: $AC^2 =CH.BC$ 2/ Tính độ dài: AB, AC. 3/ Tia phân giác của $\widehat{ACB}$cắt AB tại D và cắt AH tại E. Tính tỉ số diện tích của tam giác HCE và tam giác ACD, 4/ Tia phân giác của $\widehat{BHA}$ cắt BC tại F. Chứng minh EF//AB.

Giải thích các bước giải:

1) `ΔABC` vuông tại `A` có đường cao `AH`

`=> AB⊥AC; AH⊥BC`

Xét `ΔHAC` và `ΔABC` có:

`\hat{AHC}=\hat{BAC}=90^0 (AH⊥BC; AB⊥AC)`

`\hat{ACB}`: chung

`=>` $ΔHAC\backsimΔABC$ (g.g) 

`=> \frac{AC}{BC}=\frac{CH}{AC} => AC^2=CH.BC`

2) `BC=CH+BH=4+5=9cm`

`AC^2=CH.BC=4.9=36 => AC=6cm`

`ΔABC` vuông tại `A`

`=> AB^2+AC^2=BC^2` (pytago)

`=> AB^2=BC^2-AC^2=9^2-6^2`

`=> AB=3\sqrt{5} cm`

3) Xét `ΔHCE` và `ΔACD` có:

`\hat{CHE}=\hat{CAD}=90^0 (AH⊥BC; AB⊥AC)`

`\hat{HCE}=\hat{ACD} (CD` là phân giác của `\hat{ACB})`

`=>` $ΔHCE\backsimΔACD$ (g.g)

Tỷ số đồng dạng là: `\frac{HC}{AC}=\frac{4}{6}=2/3`

`=>` tỉ số diện tích của tam giác `HCE` và tam giác `ACD` là `(2/3)^2=4/9.`

4) Sửa đề: Tia phân giác của `\hat{BAH}` cắt `BC` tại `F.`

Xét `ΔABH` có: `AF` là đường phân giác

`=> \frac{HF}{BF}=\frac{AH}{AB}` (tính chất đường phân giác)

Xét `ΔACH` có: `CE` là đường phân giác

`=> \frac{HE}{AE}=\frac{HC}{AC}` (tính chất đường phân giác)

$ΔHAC\backsimΔABC$ `=> \frac{AH}{AB}=\frac{HC}{AC}`

`=> \frac{HF}{BF}=\frac{HE}{AE}`

`=>` $EF//AB$ (định lý ta-lét đảo)