Câu 5. (2,25 điểm) Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC của (O) lần lượt tại B và C. 1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. 2) Vẽ đường kính CD của (O), gọi E là giao điểm của AD và (O), biết E khác D.  Chứng minh $AD.AE = AB^2$ 3) Gọi H là giao điểm của AO và BC, vẽ đường kính BF của (O). Chứng minh ba điểm E, H,F thẳng hàng.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$1)$ Tứ giác $ABOC$ có $\widehat{ABO}$ và $\widehat{ACO}$ là hai góc đối nhau mà $\widehat{ABO} + \widehat{ACO}=180^\circ$

$\Rightarrow$ Tứ giác $ABOC$ nội tiếp

$2) \widehat{ABE}=\widehat{ADB}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung - cung nhỏ $BE)$

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ADB:$

$\widehat{A_1}:$ chung

$\widehat{ABE}=\widehat{ADB}\\ \Rightarrow \Delta ABE \backsim \Delta ADB (g.g)\\ \Rightarrow \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AE}{AB}\\ \Rightarrow AB^2=AD.AE$

$3) \widehat{BEF}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

$\Rightarrow \widehat{BEF}=90^\circ\\ \Rightarrow FE \perp BE$

$\Delta ABO$ vuông tại $B$, đường cao $AH$

$\Rightarrow AB^2=AH.AO\\ \Rightarrow AD.AE=AH.AO\\ \Rightarrow \dfrac{AH}{AD}=\dfrac{AE}{AO}$

Xét $\Delta AEH  $ và $\Delta AOD:$

$\widehat{A_2}:$ chung

$\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{AH}{AD}\\ \Rightarrow \Delta AEH \backsim \Delta AOD (c.g.c)\\ \Rightarrow \widehat{AEH}=\widehat{AOD}\\ \Rightarrow 180^\circ-\widehat{AEH}=180^\circ-\widehat{AOD}\\ \Rightarrow \widehat{E_1}=\widehat{O_1}$

$AB,AC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau 

$\Rightarrow AB=AC$

Mà $OB=OC$

$\Rightarrow BC$ là trung trực $AO$

$\Rightarrow BC \perp AO\\ \Rightarrow \widehat{O_1}+\widehat{C_1}=90^\circ$

Mà $\widehat{O_1}=\widehat{E_1};\widehat{C_1}=\widehat{E_2}$ (chắn cung nhỏ $DB)$

$\Rightarrow \widehat{E_1}+\widehat{E_2}=90^\circ\\ \Rightarrow HE \perp BE$

Mà $FE \perp BE$

$ \Rightarrow E, H,F$ thẳng hàng.