Bài IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A và B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B và C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F. 1) Chứng minh tứ giác FCDE nội tiếp. 2) Chứng minh DA.DE=DB .DC. 3) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tử giác FCDE. Chứng minh IC là tiếp tuyển của đường tròn (O).

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a) \widehat{ACB}, \widehat{AEB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

$\Rightarrow \widehat{ACB}= \widehat{AEB} =90^\circ$

Tứ giác FCDE có $\widehat{FCD}$ và $\widehat{FED} $ là hai góc đối nhau mà $\widehat{FCD} + \widehat{FED}=180^\circ$

$\Rightarrow$ Tứ giác $FCDE $ nội tiếp

$b) $ Xét $\Delta DCA$ và $\Delta DEB:$

$\widehat{DCA}=\widehat{DEB}=90^\circ\\ \widehat{D_1}=\widehat{D_2} (đ đ)\\ \Rightarrow \Delta DCA \backsim \Delta DEB (g.g)\\ \Rightarrow \dfrac{DC}{DE}=\dfrac{DA}{DB}\\ \Rightarrow DC.DB=DE.DA$$c)\Delta FCD$ vuông tại $C$

$\Rightarrow$ Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $FCDE$ là trung điểm $I$ của $FD$

$\Rightarrow IC=IF$

$\Rightarrow \Delta ICF $ cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{ICF}=\widehat{IFC}$

Mà $\widehat{IFC}=\widehat{CED}$ (chắn cung nhỏ $CD$ của $(I;ID))$

$\Rightarrow \widehat{ICF}=\widehat{CED} $

Lại có $\widehat{CED} =\widehat{CBA}$ (chắn cung nhỏ $CA$ của $(O;OA))$

$\Rightarrow \widehat{ICF}=\widehat{CBA}$

Thêm nữa $\widehat{CBA}=\widehat{OCB} (\Delta OCB$ cân)

$\Rightarrow \widehat{ICF}=\widehat{OCB}\\ \Rightarrow \widehat{ICF}+\widehat{ICD}=\widehat{OCB}+\widehat{ICD}\\ \Rightarrow 90^\circ=\widehat{OCI}$

$\Rightarrow IC$ là tiếp tuyển của đường tròn $(O).$