Bài III (2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình $\left \{ {\frac{2}{x-1}+ 2\sqrt{y} = 8{} \atop {\frac{11}{x-1}-3\sqrt{y}= 2}} \right.$ 2) Cho phương trình bậc hai $x^2 +4x +m-1=0$ (m là tham số). Tìm m để phương trình cỏ hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$; thỏa mãn x² + x²= $x_1x_2$ +7

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$1)\\ \left\{\begin{array}{l} \dfrac{2}{x-1}+2\sqrt{y}=8 \\ \dfrac{11}{x-1}-3\sqrt{y}=2\end{array} \right. (x \ne 1; y \ge 0)$

Đặt $\dfrac{1}{x-1}=u;\sqrt{y}=v (v \ge 0)$, hệ đã cho trở thành:

$\left\{\begin{array}{l} 2u+2v=8 \\ 11u-3v=2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} u+v=4 \\ 11u-3v=2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} u=4-v \\ 11(4-v)-3v=2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} u=4-v \\ 44 - 14 v=2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} u=4-v \\ - 14 v=-42\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} u=1 \\ v=3\end{array} \right.$

Trở lại cách đặt ta có:

$ \left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{x-1}=1 \\ \sqrt{y}=3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} x-1=1 \\ y=9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} x=2 \\ y=9\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y)=(2;9)$

$2)\\ x^2 +4x +m-1=0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$\Rightarrow \Delta' >0\\ \Leftrightarrow 4-m+1>0\\ \Leftrightarrow m<5\\ Vi-et: x_1+x_2=-4\\ x_1x_2=m-1\\ \circledast x_1^2+x_2^2=x_1x_2+7\\ \Leftrightarrow x_1^2+x_2^2-x_1x_2-7=0\\ \Leftrightarrow x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-3x_1x_2-7=0\\ \Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-3x_1x_2-7=0\\ \Leftrightarrow (-4)^2-3(m-1)-7=0\\ \Leftrightarrow 12 - 3 m=0\\ \Leftrightarrow 3 m=12\\ \Leftrightarrow m=4 (TM)$

Vậy $m=4.$