Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB<AC. Đường tròn (B;BA) và đường tròn (C;CA) cắt nhau tại điểm thứ hai là D. a) Chứng minh rằng $\triangle$ABC = $\triangle$DBC và tứ giác ABDC nội tiếp. b) Gọi H là giao điểm của BC và AD. Trên đoạn thẳng DH lấy điểm M (M khác H và D). Đường thẳng BM cắt đường tròn (C;CA) tại hai điểm E và F (E nằm giữa B và M ). Chứng minh $BA^2 = BE.BF$. c) Đường thẳng CM cắt đường tròn (B;BA) tại hai điểm P và Q (P nằm giữa C và M ). Chứng minh EPFQ là một tứ giác nội tiếp.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)$ Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DBC:$

$BC:$ chung

$AB=DB\\ AC=DC\\ \Rightarrow \Delta ABC = \Delta DBC (c.c.c)\\ \Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{DBC}\\ \Rightarrow \widehat{DBC}=90^\circ$

Tứ giác $ABDC$ có $\widehat{ABC},\widehat{DBC}$ là hai góc đối nhau và $\widehat{ABC}+\widehat{DBC}=180^\circ$

$\Rightarrow$ Tứ giác $ABDC$ nội tiếp

$b) BA \perp AC$

$\Rightarrow BA$ là tiếp tuyến $ (C;CA)$

$\Rightarrow \widehat{BAE}=\widehat{BFA}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung - cung nhỏ $AE)$

Xét $\Delta BAE$ và $\Delta BFA:$

$\widehat{ABF}:$ chung

$ \widehat{BAE}=\widehat{BFA}\\ \Rightarrow \Delta BAE \backsim \Delta BFA (g.g)\\ \Rightarrow \dfrac{BA}{BF}=\dfrac{BE}{BA}\\ \Rightarrow BA^2=BF.BE$

$c)$ Xét $\Delta MDF$ và $\Delta MEA:$

$\widehat{MDF}=\widehat{MEA}$ (chắn cung $AF$ lớn của $(C;CA))$

$\widehat{MFD}=\widehat{MAE}$ (chắn cung $DE$ nhỏ của $(C;CA))$

$\Rightarrow \Delta MDF \backsim \Delta MEA (g.g)\\ \Rightarrow \dfrac{MD}{ME}=\dfrac{MF}{MA}\\ \Rightarrow MD.MA=ME.MF (1)$

Chứng minh tương tự ta có $\Delta MPA \backsim \Delta MDQ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{MP}{MD}=\dfrac{MA}{MQ}\\ \Rightarrow MD.MA=MP.MQ (2)\\ (1)(2) \Rightarrow ME.MF=MP.MQ\\ \Rightarrow \dfrac{ME}{MP}=\dfrac{MQ}{MF}$

Xét $\Delta MEQ$ và $\Delta MPF$

$\dfrac{ME}{MP}=\dfrac{MQ}{MF}\\ \widehat{EMQ}=\widehat{PMF} (đ đ)\\ \Rightarrow \Delta MEQ \backsim \Delta MPF (c.g.c)\\ \Rightarrow \widehat{EQM}=\widehat{PFM}$

Hay $\widehat{EQP}=\widehat{PFE}$

$\Rightarrow EPFQ$ là một tứ giác nội tiếp.