Câu 3. (2,0 điểm) a) Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng chục và nếu viết hai chữ số của số đó theo thứ tự ngược lại thì được số mới (có hai chữ số) lớn hơn số ban đầu 27 đơn vị. b) Một người đi tô đi từ A đến B với một vận tốc và một thời gian đã định. Biết rằng nếu tăng vận tốc thêm 15km/h thì thời gian đến B giảm đi 1 giờ so với thời gian đã định và nếu giảm vận tốc đi 10km/h thì thời gian đến B tăng thêm 1 giờ so với thời gian đã định. Tính độ dài quãng đường AB.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)$

Gọi số có hai chữ số cần tìm là ${ab} (0 \le a,b \le 9; a \ne 0; a,b \in \mathbb{N})$

Chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng chục

$\Rightarrow b=2a$

Nếu viết hai chữ số của số đó theo thứ tự ngược lại thì được số mới (có hai chữ số) lớn hơn số ban đầu $27$ đơn vị

$\Rightarrow {ba}-{ab}=27\\ \Leftrightarrow 10b+a-10a-b=27\\ \Leftrightarrow 9b-9a=27\\ \Leftrightarrow b-a=3\\ \Leftrightarrow 2a-a=3\\ \Leftrightarrow a=3\\ \Rightarrow b=2a=6$

Vậy số cần tìm là $63$

$b)$

Gọi vận tốc và thời gian đã định lần lượt là $x(km/h, x>10); y(h, y>0)$

Độ dài quãng đường $AB: xy (km)$

Nếu tăng vận tốc thêm $15km/h$ thì thời gian đến $B$ giảm đi $1$ giờ so với thời gian đã định

$\Rightarrow (x+15)(y-1)=xy\\ \Leftrightarrow x y - x + 15 y - 15=xy\\ \Leftrightarrow - x + 15 y = 15$

Nếu giảm vận tốc đi $10km/h$ thì thời gian đến $B$ tăng thêm $1$ giờ so với thời gian đã định

$\Rightarrow (x-10)(y+1)=xy\\ \Leftrightarrow x y + x - 10 y - 10=xy\\ \Leftrightarrow x - 10 y =10$

Ta có hệ:

$\left\{\begin{array}{l} - x + 15 y = 15\\x - 10 y =10\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 5 y = 25\\x - 10 y =10\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} y = 5\\x=60\end{array} \right.$

Độ dài quãng đường $AB: 5.60=300 (km)$

Vậy độ dài quãng đường $AB$ là $300 km.$