Bài IV (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC. 1) Chứng minh bốn điểm A, M, H, N cùng nằm trên một đường tròn. 2) Chứng minh $\triangle$AMN và $\triangle$ACB đồng dạng. 3) Đường thẳng NM cắt đường thẳng BC tại P. Chứng minh $PH^2 = PB.PC$

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$1)$ Tứ giác $AMHN$ có $\widehat{AMH}$ và $\widehat{ANH}$ là hai góc đối nhau và $\widehat{AMH} + \widehat{ANH}=90^\circ+90^\circ=180^\circ$

$\Rightarrow$ Tứ giác $AMHN$ nội tiếp

$2)$ Tứ giác $AMHN$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{M_1}=\widehat{H_1}$

Mà $\widehat{H_1}=\widehat{C_1}$ (cùng phụ $\widehat{H_2})$

$\Rightarrow \widehat{M_1}=\widehat{C_1}$

Xét $\Delta AMN$ và $\Delta ACB:$

$\widehat{BAC}:$ chung

$ \widehat{M_1}=\widehat{C_1}\\ \Rightarrow \Delta AMN \backsim \Delta ACB (g.g)\\ 3)  \widehat{M_1}=\widehat{M_2} (đ đ)$

Mà $\widehat{M_1}=\widehat{C_1}$

$\Rightarrow \widehat{M_2}=\widehat{C_1}$

Xét $\Delta PBM$ và $\Delta PNC:$

$\widehat{P_1}:$ chung

$ \widehat{M_2}=\widehat{C_1}\\ \Rightarrow \Delta PBM \backsim \Delta PNC (g.g)\\ \Rightarrow \dfrac{PB}{PN}=\dfrac{PM}{PC}\\ \Rightarrow PB.PC=PN.PM (1)$

Tứ giác $AMHN$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{N_1}$

Mà $\widehat{A_1}=\widehat{H_3}$ (cùng phụ $\widehat{H_4})$

$\Rightarrow \widehat{H_3}=\widehat{N_1}$

Xét $\Delta PMH$ và $\Delta PHN:$

$\widehat{P_1}:$ chung

$\widehat{H_3}=\widehat{N_1}\\ \Rightarrow \Delta PMH \backsim \Delta PHN (g.g)\\ \Rightarrow \dfrac{PM}{PH}=\dfrac{PH}{PN}\\ \Rightarrow PM.PN=PH^2 (2)\\ (1)(2) \Rightarrow PH^2=PB.PC.$