Bài III (2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình sau: $\left \{ {{\frac{2}{x-1}+ \frac{3}{y-1}= \frac{7}{2}} \atop {\frac{3}{x-1}- \frac{2}{y-1}= 2}} \right.$ 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = $x^2$ và đường thẳng (d): y =mx+m+1. a) Khi m = 2, không vẽ đồ thị, hãy tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d). b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt nằm về bên phải của trục tung, 

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$1)\\ \left\{\begin{array}{l} \dfrac{2}{x-1}+\dfrac{3}{y-1}=\dfrac{7}{2} \\ \dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{y-1}=2\end{array} \right. (x \ne 1; y \ne 1)$

Đặt $\dfrac{1}{x-1}=u;\dfrac{1}{y-1}=v$, hệ đã cho trở thành:

$\left\{\begin{array}{l} 2u+3v=\dfrac{7}{2} \\ 3u-2v=2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 4u+6v=7\\ 9u-6v=6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 4u+6v=7\\ 13u=13\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} v=\dfrac{1}{2}\\ u=1\end{array} \right.$

Trở lại cách đặt ta có:

$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{y-1}=\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{x-1}=1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} y-1=2\\ x-1=1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} y=3\\ x=2\end{array} \right.$

Vậy hệ có nghiệm $(x;y)=(2;3)$

$2)\\ (P): y=x^2\\ (d): y =mx+m+1$

Phương trình hoành độ giao điểm $(P)$ và $(d):$

$x^2=mx+m+1$

$\Leftrightarrow x^2-mx-m-1=0$

Ta thấy $a-b+c=1+m-m-1=0$

$\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm:

$x_1=-1$

$x_2=-\dfrac{c}{a}=m+1$

$a) m=2$, hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là $-1$ và $3$

$x=-1, y=(-1)^2=1$

$x=3; y=3^2=9$

Vậy toạ độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ khi $m=2$ và $(-1;1);(3;9)$

$b)$ Ta thấy giao điểm của $(d)$ và $(P)$ luôn có $1$ điểm nằm bên trái trục tung $(x=-1)$ nên không tồn tại m để $(d)$ cắt $(P)$ tại $2$ điểm phân biệt nằm về bên phải của trục tung.