Bài 4. (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD và CE cắt nhau tại điểm H. 1) Chứng minh tứ giác AEDC nội tiếp 2) Tiếp tuyến tại C với (O) cắt ED tại M. Chứng minh $\widehat{MDC}$ =$\widehat{MCB}$ 3) Đoạn AM cắt (O) tại F, tia AD cắt (O) tại N, đường thẳng BF cắt đường thẳng EM tại điểm I. a) Chứng minh tam giác MFD đồng dạng với tam giác MDA. b) Chứng minh ba điểm N, I, C thẳng hàng.

Đáp án + Giải thích các bước giải:

1)

Vì `AD,CE` lần lượt là đường cao của `\DeltaABC` nên `\hat{ADC}=90^o;\hat{AEC}=90^o`

Tứ giác `AEDC` có: `\hat{ADC}=\hat{AEC}=90^o`

`=>AEDC` nội tiếp

Vậy tứ giác `AEDC` nội tiếp

2)

Ta có: `\hat{MDC}=\hat{BDE}` (Đối đỉnh)

Lại có: `hat{BDE}=\hat{BAC}` (Vì `AEDC` nội tiếp)

Và: `\hat{BAC}=\hat{MCB}(=1/2sđ\stackrel\frown{BC})`

Do đó: `\hat{MDC}=\hat{MCB}`

Vậy `\hat{MDC}=\hat{MCB}`

3a)

Xét `\DeltaMDC` có: `\hat{MDC}=\hat{MCD}` nên `\DeltaMDC` cân tại `M`

`=>MC=MD(1)`

Xét `\DeltaMCF` và `\DeltaMAC` có:

`\hat{MCF}=\hat{MAC}(=1/2sđ\stackrel\frown{CF})`

`\hat{MAC}`: Góc chung

`=>\DeltaMCF` $\backsim$ `\DeltaMAC(g.g)`

`=>(MC)/(MF)=(MA)/(MC)`

`=>MC^2=MA.MF(2)`

Từ `(1),(2)=>MD^2=MA.MF`

`=>(MD)/(MF)=(MA)/(MD)`

Xét `\DeltaMFD` và `\DeltaMDA` có: 

`\hat{AMD}`: Góc chung

`(MD)/(MF)=(MA)/(MD)`

`=>\DeltaMFD` $\backsim$ `\DeltaMDA(c.g.c)`

Vậy `\DeltaMFD` $\backsim$ `\DeltaMDA`

3b)

Xét `\DeltaBDE` và `\DeltaBAC` có:

`\hat{ABC}`: Góc chung

`\hat{BDE}=\hat{BAC}(cmt)`

`=>\DeltaBDE` $\backsim$ `\DeltaBAC(g.g)`

`=>(BD)/(BE)=(BA)/(BC)`

`=>BD.BC=BE.BA(3)`

Ta có: `\hat{BED}=\hat{BCA}` (Vì `AEDC` nội tiếp) và `\hat{BCA}=\hat{BFA}(=1/2sđ\stackrel\frown{AB})`

`=>\hat{BED}=\hat{BFA}`

Xét `\DeltaBEI` và `\DeltaBFA` có:

`\hat{ABF}`: Góc chung

`\hat{BEI}=\hat{BFA}(cmt)`

`=>\DeltaBEI` $\backsim$ `\DeltaBFA(g.g)`

`=>(BE)/(BI)=(BF)/(BA)`

`=>BE.BA=BI.BF(4)`

Từ `(3),(4)=>BD.BC=BI.BF(=BE.BA)`

`=>(BD)/(BI)=(BF)/(BC)`

Xét `\DeltaBDI` và `\DeltaBFC` có:

`\hat{CBF}`: Góc chung

`(BD)/(BI)=(BF)/(BC)`

`=>\DeltaBDI` $\backsim$ `\DeltaBFC(c.g.c)`

`=>\hat{BDI}=\hat{BFC}`

Tứ giác `DIFC` có: `\hat{BDI}=\hat{BFC}` 

`=>DIFC` nội tiếp

`=>\hat{FCI}=\hat{FDI}`

Lại có: `\hat{FDM}=\hat{MAD}` (Vì `\DeltaMFD` $\backsim$ `\DeltaMDA(cmt)`)

Và: `\hat{MAD}=\hat{NCF}`

Do đó: `\hat{ICF}=\hat{NCF}`

Từ đó suy ra: `N,I,C` thẳng hàng

Vậy `N,I,C` thẳng hàng