Bài 3. (2,5 điểm). 1) Giải hệ phương trình $\left \{ {{3(y-5) +2(x-3)=0 } \atop {7(x-4)+ 3(x+y-1)-14 =0 }} \right.$  2) Cho phương trình $x^2 -(m+5)x+3m +6=0$(1). a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$, là độ dài hai cạnh hình chữ nhật có đường chéo bằng 5.

Đáp án`+`Giải thích các bước giải:

 Bài `3:`

`1,`

Ta có: `{(3(y - 5) + 2(x - 3) = 0),(7(x - 4) + 3(x +y - 1) -14= 0):}`

`<=> {(3y - 15 + 2x - 6 = 0),(7x - 28 + 3x + 3y -3 - 14=  0):}`

`<=> {(2x +3y - 21 = 0),(10x+ 3y -45 =0):}`

`<=> {(2x + 3y = 21),(10x + 3y = 45):}`

`<=> {8x =24),(2x+ 3y = 21):}`

`<=> {(x = 3),(2.3 + 3y = 21):}`

`<=> {(x = 3),(6 + 3y = 21):}`

`<=> {(x = 3),(3y = 15):}`

`<=> {(x = 3),(y = 5):}` 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là `(x;y) = (3;5)`

`2,`

`a,` Ta có: `\Delta = [-(m +5)]^2 - 4.1. (3m +6)`

`= m^2 + 10m + 25 - 4(3m +6)`

`= m^2 + 10m + 25 - 12m - 24`

`=m^2 - 2m +1`

`= (m - 1)^2`

Để phương trình `(1)` có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2` thì

`\Delta > 0`

`<=> (m - 1)^2 > 0`

mà `(m - 1)^2 \ge 0AAx`

`=> (m - 1)^2 \ne 0`

`<=> m-1 \ne 0`

`<=> m \ne 1`

Vậy `m \ne 1` thì phương trình `(1)` có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2`

`b,` Theo hệ thức Vi - ét ta có:

`{(x_1 +x_2 = -(-(m + 5))/1 = m +5),(x_1 .x_2 = (3m +6)/1 = 3m +6):}`

Vì `x_1;x_2` là độ dài hai cạnh hình chữ nhật có đường chéo bằng `5` nên

`\sqrt{x_1^2 +x_2^2} =5`

`<=> x_1^2 +x_2^2 = 25`

`<=> (x_1 +x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 25`

`<=> (m +5)^2 - 2(3m +6) = 25`

`<=> m^2 + 10m + 25- 6m - 12 = 25`

`<=> m^2 + 4m +13 - 25 = 0`

`<=> m^2 +4m -12=  0`

`<=> m^2 - 2m + 6m - 12 = 0`

`<=> m(m - 2) + 6(m - 2) = 0`

`<=> (m - 2)(m +6) =0`

`<=> m-2 = 0` hoặc `m +6 = 0`

`<=> m = 2` (thỏa mãn) hoặc `m = -6` (thỏa mãn)

Vậy `m \in {2;-6}`

`@`duong612009