Bài 5 (0,5 điểm). Với a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+ab+bc+ca=6abc. Chứng minh $\frac{1}{a^2}$ +$\frac{1}{y}b^2$ + $\frac{1}{c^2}$ $\geq$ 3

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a+b+c+ab+bc+ca=6abc$ mà $a,b,c >0$

$\Rightarrow abc>0$

$\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}=6$

Áp dụng BĐT Cô-si:

$\dfrac{1}{a^2}+1 \ge \dfrac{2}{a}\\ \dfrac{1}{b^2}+1 \ge \dfrac{2}{b}\\ \dfrac{1}{c^2}+1 \ge \dfrac{2}{c}\\ \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2} \ge \dfrac{2}{ab}\\ \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{c^2} \ge \dfrac{2}{ac}\\ \dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2} \ge \dfrac{2}{bc}$

Cộng tương ứng các vế các BPT trên với nhau ta được:

$2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}\right) \le 3 \left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2} \right)+3\\ \Leftrightarrow 12 \le 3\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2} \right)+3\\ \Leftrightarrow 9 \le 3 \left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2} \right)\\ \Leftrightarrow 3 \le \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{b^2}= \dfrac{1}{c^2}=1 \\ \dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{c^2} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow a=b=c=1.$