Bài 4 (3,5 điểm). 1) Một bể bơi có hình dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài 20m, chiều rộng 7m và chiều sâu 2,5m (như hình vẽ bên). Hỏi cần bơm vào bể cạn bao nhiêu mét khối nước để đầy bể. 2) Cho $\triangle$ ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H $\in$ BC) và phân giác BD của góc ABC (D $\in$ AC). a) Chứng minh: $\triangle$ BAH đồng dạng với $\triangle$ BCA và góc BAH=BCA; b) Gọi I là giao điểm của AH và BD. Chứng minh: BI.BC=BA.BD; c) Kẻ CE $\bot$ BD cắt tia BA tại M. Chứng minh: AI // MD và $BA.BM+CE.CM=BC^2$

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$1)$

Thể tích bể:

$20.7.2,5=350(m^3)$

Vậy cần bơm vào bể $350m^3$ nước để đầy bể

$2)$

$a)$ Xét $\Delta BAH$ và $\Delta BCA:$

$\widehat{ABC}:$ chung

$\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90^\circ\\ \Rightarrow \Delta BAH \backsim \Delta BCA (g.g)\\ \Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{BCA}$

$b)$ Xét $\Delta BIA$ và $\Delta BDC:$

$\widehat{B_1}=\widehat{B_2} (gt)\\ \widehat{BAH}=\widehat{BCA}\\ \Rightarrow \Delta BIA \backsim \Delta BDC (g.g)\\ \Rightarrow \dfrac{BI}{BD}=\dfrac{BA}{BC}\\ \Rightarrow BI.BC=BD.BA$

$c) \Delta BMC, D$ là giao hai đường cao $BE, CA$

$\Rightarrow H$ là trực tâm $\Delta BMC$

$\Rightarrow MD \perp BC$

Mà $AI \perp BC$

$\Rightarrow AI//MD$

$MD$ cắt $BC$ tại $F$

Xét $\Delta BAC$ và $\Delta BFM:$

$\widehat{ABC}:$ chung

$\widehat{BAC}=\widehat{BFM}\\ \Rightarrow \Delta BAC \backsim \Delta BFM (g.g)\\ \Rightarrow \dfrac{BA}{BF}=\dfrac{BC}{BM}\\ \Rightarrow BA.BM=BF.BC (1)$

Chứng minh tương tự ta có $CE.CM=CF.BC (2)$

$(1)(2) \Rightarrow BA.BM+CE.CM=BF.BC+CF.BC=(BF+CF)BC=BC^2.$