Bài 5. (0,5 điểm) Giải phương trình: ($\sqrt{1+ x}$ + $\sqrt{1-x}$)($2+ 2\sqrt{1-x^2})= 8$

Đáp án:

$x=0.$

Giải thích các bước giải:

$(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})(2+2\sqrt{1-x^2})=8 (-1 \le x \le 1\\ a=\sqrt{1+x}; 0 \le a \le \sqrt{2}\\ b=\sqrt{1-x}; 0 \le a \le \sqrt{2}\\ \Rightarrow a^2+b^2=1+x+1-x=2$

Ta có hệ:

$ \left\{\begin{array}{l} a^2+b^2=2\\ (a+b)(2+2ab)=8 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} a^2+b^2=2\\ (a+b)(a^2+b^2+2ab)=8 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} a^2+b^2=2\\ (a+b)^3=8 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} a^2+b^2=2\\ a+b=2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} (2-b)^2+b^2=2\\ a=2-b \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} 2 b^2 - 4 b + 4=2\\ a=2-b \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} 2 b^2 - 4 b + 2=0\\ a=2-b \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} b^2 - 2b + 1=0\\ a=2-b \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} (b-1)^2=0\\ a=2-b \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} b=1\\ a=1 \end{array} \right.$

Trở lại cách đặt ta có:

$ \left\{\begin{array}{l} \sqrt{1-x}=1\\ \sqrt{1+x}=1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} 1-x=1\\ 1+x=1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow   x=0$

Vậy $x=0.$