Bài IV(3 điểm): Cho đường tròn (O) và điểm A ở ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB, AC (B và C là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính BD. Gọi AO cắt BC tại H. 1) Chứng minh : Tứ giác ABOC nội tiếp 2) Gọi đoạn AD cắt (O) tại điểm thứ hai là E, tia CE cắt đoạn AO tại I. Chứng minh CD//AO và $\triangle$IAE đồng dạng $\triangle$ICA. 3) Chứng minh AHE = ADO và I là trung điểm của AH.

Đáp án:

$1$. $AB$ và $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$

$\Rightarrow \widehat{ABO}=90^\circ$ và $\widehat{ACO}=90^\circ$

$\Rightarrow\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^\circ+90^\circ=180^\circ$.

$\Rightarrow ABOC$ là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).

$2$. Có $AB=AC$ (hai tiếp tuyến cắt nhau).

$\Rightarrow A$ thuộc đường trung trực của $BC$.

$OB=OC$ (cùng bằng bán kính đường tròn $(O)$).

$\Rightarrow O$ thuộc đường trực trực của $BC$.

$\Rightarrow AO$ là đường trung trực của $BC$.

Mà $AO\cap BC=H\Rightarrow H$ là trung điểm của $BC$.

Xét tam giác $\Delta BCD$ ta có:

$H$ là trung điểm của $BC$ (chứng minh trên).

$O$ là trung điểm của $AD$ ($AD$ là đường kính của $(O)$).

$\Rightarrow OH$ là đường trung bình của $\Delta BCD$

$\Rightarrow OH//CD\Rightarrow AO//CD$ ($AO\equiv OH$)*.

$\Rightarrow \widehat{IAE}=\widehat{CDE}$ (so le trong).

$AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

$\Rightarrow \widehat{ACI}=\widehat{CDE}$ (cùng chắn cung $CE$).

$\Rightarrow\widehat{IAE}=\widehat{ACI}$ (bắc cầu góc).

Kết hợp có một góc chung tại đỉnh $I$

$\Rightarrow\Delta ACI\backsim\Delta EAI$ (góc-góc).

$3$. Ta có $\widehat{BED}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $B$ có đường cao $BE$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$AB^2=AE.AD$ (bình phương cạnh góc vuông).

Lại có $AO$ là đường trung trực của $BC$

Và $AO\cap BC=H\Rightarrow\widehat{AHB}=90^\circ$.

Xét $\Delta ABO$ vuông tại $B$ có đường cao $BH$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$AB^2=AH.AO$ (bình phương cạnh góc vuông).
$\Rightarrow AE.AD=AH.AO\Rightarrow \dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AO}{AD}$
Kết hợp một góc chung tại đỉnh $A$

$\Rightarrow \Delta AHE\backsim\Delta ADO$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow\widehat{AHE}=\widehat{ADO}$ (hai góc tương ứng)*.

$\Delta ACI\backsim\Delta EAI$ (chứng minh trên).
$\Rightarrow\dfrac{AI}{IE}=\dfrac{IC}{AI}\Rightarrow AI^2=IC.IE$.
Ta có $\widehat{BED}=90^\circ$ và $\widehat{BCD}=90^\circ$

$\Rightarrow BECD$ là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).

$\Rightarrow \widehat{HBE}=\widehat{CDE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $BE$).

$\Rightarrow\widehat{DEC}=\widehat{DBC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $CD$).

Mà $\widehat{DBC}=\widehat{OAB}$ (cùng phụ với $\widehat{AOB}$).

$\Rightarrow\widehat{DEC}=\widehat{OAB}$ (bắc cầu góc).

Lại có $\widehat{AHB}=90^\circ$ và $\widehat{AEB}=90^\circ$ 

$\Rightarrow ABHE$ là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).

$\Rightarrow \widehat{BAO}=\widehat{BEH}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $BH$).

Mà $\widehat{BAO}=\widehat{DEC}\Rightarrow\widehat{DEC}=\widehat{BEH}$

Xét $\widehat{HEC}=\widehat{HED}+\widehat{DEC}$ (kề phụ)

$\Rightarrow \widehat{HEC}=\widehat{HED}+\widehat{BEH}$

$\Rightarrow\widehat{HEC}=\widehat{BED}$ (kề nhau).

Mà $\widehat{BED}=90^\circ\Rightarrow\widehat{HEC}=90^\circ$.

Xét $\Delta HIC$ vuông tại $H$ có đường cao $HE$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

$HI^2=IE.IC$ (bình phương cạnh góc vuông).

Mà $AI^2=IE.IC$ (chứng minh trên) $\Rightarrow AI^2=HI^2$

$\Rightarrow AI=HI\Rightarrow I$ là trung điểm của $AH$*.