Bài III (2 điểm): 1) Giải hệ phương trình: $\left \{ {{\frac{3}{x-4}- 4\sqrt{y+2} = 2} \atop {{\frac{5}{x-4}+ 2\sqrt{y+2} = 12}}} \right.$ 2) Cho parabol (P) : y=$x^2$ và đường thẳng (d) : y=2mx+2m+1, (m$\ne$0) a)Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt b)Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}$ ,$x_{2}$   thoả mãn $x_{1}^2x_2$ +$x_{1}^x_2^2$ =-2

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$1)\\ \left\{\begin{array}{l} \dfrac{3}{x-4} -4 \sqrt{y+2}=2 \\ \dfrac{5}{x-4}+2 \sqrt{y+2}=12\end{array} \right. (x \ne 4; y \ge -2)$

Đặt $u= \dfrac{1}{x-4}, v= \sqrt{y+2} (v \ge 0)$, hệ đã cho trở thành:

$\left\{\begin{array}{l} 3u-4v=2 \\ 5u+2v=12\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 3u-4v=2 \\ 10u+4v=24\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 3u-4v=2 \\ 13u=26\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} v=1 \\ u=2\end{array} \right.$

Trở lại cách đặt ta có:

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \sqrt{y+2}=1 \\\dfrac{1}{x-4}=2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} y+2=1 \\x-4=\dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} y=-1 \\x=\dfrac{9}{2}\end{array} \right.$

Vậy hệ có nghiệm $(x;y)=\left(\dfrac{9}{2};-1\right)$

$2)\\ (P) : y=x^2\\ (d):  y=2mx+2m+1 (m \ne 0)$

$a)$ Phương trình hoành độ giao điểm:

$x^2=2mx+2m+1$

$\Leftrightarrow x^2-2mx-2m-1=0 (1)$

$(P) $ cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt khi $(1) $ có hai nghiệm phân biệt

$\Rightarrow \Delta' >0\\ \Leftrightarrow (-m)^2+2m+1 >0\\ \Leftrightarrow m^2+2m+1 >0\\ \Leftrightarrow (m+1)^2 >0\\ \Leftrightarrow m \ne -1\\ b) Vi-et: x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=-2m-1\\ \circledast x_1^2x_1+x_1x_2^2=-2\\ \Leftrightarrow x_1x_2(x_1+x_2)=-2\\ \Leftrightarrow 2m(-2m-1)=-2\\ \Leftrightarrow m(2m+1)=1\\ \Leftrightarrow 2m^2+m-1=0\\ \Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2} (TM); m=-1(L)$

Vậy $m=\dfrac{1}{2}.$