Câu 9: Cho hàm số `f(x)` có đạo hàm `f'(x)=x^2(x+1)(x^2+2mx+5)`. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của `m` để hàm số có đúng một điểm cực trị? A. 0 B. 5 C. 6 D. 7

Đáp án:

 C

Giải thích các bước giải:

 Để hàm số có đúng 1 điểm cực trị thì phương trình $f'(x)=0$ có đúng 1 nghiệm đổi dấu  và các nghiệm còn lại không đổi dấu .

$f'(x)=0\Leftrightarrow $\(\left[ \begin{array}{l}x^2=0\\x+1=0\\x^2+2mx+5=0\end{array} \right.\) $\Leftrightarrow $\(\left[ \begin{array}{l}x=0(Loại)\\x=-1\\x^2+2mx+5=0\end{array} \right.\) 

TH1: Phương trình $x^2+2mx+5=0$ có 1 một nghiệm là $x=-1$

Ta có :

$\Delta'=m^2-5$

Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì :

$m<-\sqrt{5}$ hoặc $m>\sqrt{5}$

Để phương trình có 1 một nghiệm là $x=-1$ thì:

$1-2m+5=0$

$m=3(TM)$

Vậy với $m=3$ thì phương trình có một điểm cực trị

TH2: Phương trình $x^2+2mx+5=0$ có nghiệm kép là $x=-1$

Để pt có nghiệm kép thì :

$\Delta'=0\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{5}$

Khi đó để có nghiệm là $x=-1$ thì :

$\dfrac{-2m}{2}=-1$

$m=1(Loại)$

TH3: Phương trình $x^2+2mx+5=0$ vô nghiệm

$\Delta'<0$

$\Leftrightarrow -\sqrt{5}<m<\sqrt{5}$

$->$ có 5 giá trị

TH4: Phương trình $x^2+2mx+5=0$ có nghiệm kép không phải là $x=-1$ :

Khi đó :

Để pt có nghiệm kép thì :

$\Delta'=0\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{5}$(Loại vì không phải số nguyên(

Vậy có tất cả 6 giá trị