Cho` a,b,c>0` thay đổi thoả mãn `a+9b+6c=2023` Tìm Max `P=\sqrt{3a^2 +63ab+243b^2}+\sqrt{243b^2 +378bc+108c^2}+\sqrt{108c^2 +42ac+3a^2}`

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Đặt `x=a;y=9b;z=6c(x,y,z>0)=>x+y+z=2023`

Khi đó `P` thành: `P=\sqrt{3x^2+7xy+3y^2}+\sqrt{3y^2+7yz+3z^2}+\sqrt{3z^2+7zx+3x^2}`

Ta có bất đẳng thức: `\sqrt{3x^2+7xy+3y^2}<=(\sqrt13)/2(x+y)`

Thật vậy. bình phương `2` vế ta có: `3x^2+7xy+3y^2<=13/4(x+y)^2`

`<=>3x^2+7xy+3y^2-13/4(x^2+2xy+y^2)<=0`

`<=>3x^2+7xy+3y^2-13/4x^2-13/2xy-13/4y^2<=0`

`<=>-1/4x^2+1/2xy-1/4y^2<=0`

`<=>-1/4(x^2-2xy+y^2)<=0`

`<=>-1/4(x-y)^2<=0` (Luôn đúng với `AAx,y`)

Tương tự ta có: `\sqrt{3y^2+7yz+3z^2}<=(\sqrt13)/2(y+z);\sqrt{3z^2+7zx+3x^2}<=(\sqrt13)/2(z+x)`

Do đó: `P<=(\sqrt13)/2(x+y)+(\sqrt13)/2(y+z)+(\sqrt13)/2(z+x)`

`=(\sqrt13)/2(x+y+y+z+z+x)`

`=(\sqrt13)/2 .2(x+y+z)`

`=2023\sqrt13`

Dấu `=` xảy ra khi: `x=y=z=2023/3`

`=>{(a=2023/3),(b=2023/27),(c=2023/18):}`

Vậy `a=2023/3;b=2023/27;c=2023/18` thì `P` có GTLN là `2023\sqrt13`