Giải phương trình: `1/(3x^2)+1/(x^2-12x+2024)=1/(x^2-3x+506).`

ĐK: `x ne 0`

Ta sẽ giải bằng bất đẳng thức.

Với `a, b > 0` ta có:

`1/a + 1/b >= 4/(a + b)` (*)

Thật vậy, (*)`<=> (a + b)/(ab) >= 4/(a + b)`

`<=> (a + b)^2 >= 4ab`

`<=> (a - b)^2 >= 0` (luôn đúng)

"=" `<=> a = b> 0`

Áp dụng:

`VT = 1/(3x^2) + 1/(x^2 - 12x + 2024)`

`>= 4/(3x^2 + x^2 - 12x + 2024)`

`= 4/(4x^2 - 12x + 2024)`

`= 1/(x^2 - 3x + 506)`

`= VP`

Dấu "=" xảy ra khi:

`1/(3x^2) = 1/(x^2 - 12x + 2024)`

`<=> 3x^2 = x^2 - 12x + 2024`

`<=> 2x^2 + 12x - 2024 = 0`

`<=> x^2 + 6x - 1012 = 0`

`<=> (x + 3)^2 - 1021 = 0`

`<=> (x + 3 - sqrt1021)(x + 3 + sqrt1021) = 0`

`<=> [(x = sqrt1012 - 3(tm)),(x = -sqrt1021 - 3(tm)):}`

Vậy `S = {-3 +- sqrt1021}.`